Вопросы, страница 83 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Приведите пример функции, заданной табличным способом.

2. Что называется графиком функции?

3. Как построить график функции?

4. Как по графику определить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента? Приведите пример.

Обозначим количество диагоналей выпуклого $\text{n}$-угольника через $\text{m}$. Найдите зависимость $\text{m}$ от $\text{n}$. Для этого выполните следующие задания.

Здесь учтено то, что треугольник не имеет диагоналей.

Основываясь на эту закономерность, найдите количество диагоналей многоугольника при $n = 8$ и $n = 9$ (не используя соответствующие рисунки).

1. Приведите пример функции, заданной табличным способом.

Функцию можно задать с помощью таблицы, в которой для каждого значения аргумента из некоторого множества указывается соответствующее значение функции. Например, таблица погоды за неделю, где дню недели (аргумент) соответствует температура воздуха (значение функции).

Пример функции $y = 2x + 1$ для нескольких целых значений $x$:

Ответ: Пример функции, заданной табличным способом, приведён выше.

2. Что называется графиком функции?

Графиком функции $f$ называется множество всех точек $(x, y)$ координатной плоскости, где $x$ — любое значение аргумента из области определения функции, а $y$ — соответствующее ему значение функции, т.е. $y = f(x)$.

Ответ: Графиком функции является множество точек $(x, f(x))$ на координатной плоскости для всех $x$ из области определения функции.

3. Как построить график функции?

Чтобы построить график функции, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Составить таблицу, в которой указываются несколько значений аргумента ($x$) и вычисляются соответствующие им значения функции ($y$).
2. Рассматривая каждую пару $(x, y)$ из таблицы как координаты точки, отметить эти точки на координатной плоскости.
3. Соединить полученные точки плавной линией, если функция определена на непрерывном промежутке. Если область определения состоит из отдельных точек, то график будет состоять из этих же отдельных точек.

Ответ: Для построения графика функции находят несколько пар соответственных значений аргумента и функции, отмечают точки с этими координатами на плоскости и соединяют их линией в соответствии с областью определения функции.

4. Как по графику определить значение функции, соответствующее заданному значению аргумента? Приведите пример.

Чтобы по графику найти значение функции для заданного значения аргумента $x_0$, нужно:

1. Найти на оси абсцисс (оси $Ox$) точку со значением $x_0$.
2. Провести из этой точки вертикальную линию (перпендикуляр) до пересечения с графиком функции.
3. Из точки пересечения провести горизонтальную линию (перпендикуляр) до оси ординат (оси $Oy$).
4. Координата точки на оси $Oy$ и будет искомым значением функции $y_0 = f(x_0)$.

Пример: По графику функции $y=x^2$ найдем значение функции при $x=2$. Находим на оси $Ox$ точку $2$. Проводим из нее вертикальную линию до пересечения с параболой. Из точки пересечения проводим горизонтальную линию до оси $Oy$. Эта линия пересечет ось $Oy$ в точке $4$. Следовательно, $f(2)=4$.

Ответ: Нужно найти точку на оси абсцисс, соответствующую аргументу, провести от нее перпендикуляр к графику, а от точки пересечения — перпендикуляр к оси ординат; ордината точки пересечения и будет значением функции.

1) Постройте выпуклые четырехугольник, пятиугольник, шестиугольник и семиугольник. Посчитайте количество диагоналей каждого из них.

Диагональ многоугольника — это отрезок, соединяющий две его не соседние вершины. Количество диагоналей $m$ для $n$-угольника можно посчитать по формуле $m = \frac{n(n-3)}{2}$.

• Для выпуклого четырехугольника ($n=4$): $m = \frac{4(4-3)}{2} = \frac{4 \times 1}{2} = 2$ диагонали.
• Для выпуклого пятиугольника ($n=5$): $m = \frac{5(5-3)}{2} = \frac{5 \times 2}{2} = 5$ диагоналей.
• Для выпуклого шестиугольника ($n=6$): $m = \frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = 9$ диагоналей.
• Для выпуклого семиугольника ($n=7$): $m = \frac{7(7-3)}{2} = \frac{7 \times 4}{2} = 14$ диагоналей.

Ответ: Для четырехугольника — 2 диагонали, для пятиугольника — 5, для шестиугольника — 9, для семиугольника — 14.

2) Результаты занесите в таблицу:

Заполняем таблицу, используя данные из условия ($n=3,4$) и результаты, полученные в пункте 1 ($n=5,6,7$).

Ответ: Для $n=5, 6, 7$ значения $m$ равны 5, 9, 14 соответственно.

3) Определите закономерность изменения количества диагоналей в зависимости от количества сторон многоугольника по первым пяти значениям таблицы. Основываясь на эту закономерность, найдите количество диагоналей многоугольника при $n = 8$ и $n = 9$ (не используя соответствующие рисунки).

Рассмотрим ряд значений $m$: 0, 2, 5, 9, 14. Найдем разность между последующим и предыдущим значениями:

• При переходе от $n=3$ к $n=4$ количество диагоналей увеличилось на $2-0=2$.
• При переходе от $n=4$ к $n=5$ количество диагоналей увеличилось на $5-2=3$.
• При переходе от $n=5$ к $n=6$ количество диагоналей увеличилось на $9-5=4$.
• При переходе от $n=6$ к $n=7$ количество диагоналей увеличилось на $14-9=5$.

Закономерность состоит в том, что при увеличении числа сторон $n$ на единицу, количество диагоналей $m$ увеличивается на $n-2$ (для нового значения $n$). Таким образом, $m(n) = m(n-1) + (n-2)$.

Применим эту закономерность для $n=8$ и $n=9$:

• Для $n=8$: количество диагоналей увеличится на $8-2=6$. $m(8) = m(7) + 6 = 14 + 6 = 20$.
• Для $n=9$: количество диагоналей увеличится на $9-2=7$. $m(9) = m(8) + 7 = 20 + 7 = 27$.

Ответ: При $n=8$ количество диагоналей равно 20, при $n=9$ — 27.

4) По этой закономерности запишите функцию $m = f(n)$.

Для вывода общей формулы рассмотрим, что из каждой из $n$ вершин можно провести диагональ ко всем остальным вершинам, кроме самой себя и двух соседних. Это означает, что из каждой вершины выходит $n-3$ диагонали. Если мы умножим $n$ вершин на $n-3$ диагонали, то мы посчитаем каждую диагональ дважды (один раз для каждой из ее конечных точек). Поэтому полученное произведение нужно разделить на 2.

Функция, выражающая зависимость количества диагоналей $m$ от количества сторон $n$ в выпуклом многоугольнике, имеет следующий вид:

$m = \frac{n(n-3)}{2}$

Данная формула верна для всех $n \ge 3$.

Ответ: $m = f(n) = \frac{n(n-3)}{2}$.