Номер 3.19, страница 81 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

3.19*. Дана функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$.

1) Найдите область определения функции.

2) Найдите значения $f(-10)$, $f(-3)$, $f(-1)$, $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$, $f(10)$ и сравните их.

3) Найдите наибольшее значение функции.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

1) Найдите область определения функции.

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Для функции $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ ограничение накладывается на знаменатель дроби, который не должен быть равен нулю. Решим уравнение $1 + x^2 = 0$. Отсюда $x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$). Следовательно, знаменатель $1 + x^2$ никогда не равен нулю. Более того, $1 + x^2 \ge 1$ для любого $x \in \mathbb{R}$. Таким образом, функция определена для всех действительных чисел.

Ответ: Область определения функции — все действительные числа, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Найдите значения f(-10), f(-3), f(-1), f(0), f(1), f(3), f(10) и сравните их.

Вычислим значения функции для заданных значений $x$, подставляя их в формулу $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$:

$f(-10) = \frac{1}{1 + (-10)^2} = \frac{1}{1 + 100} = \frac{1}{101}$.

$f(-3) = \frac{1}{1 + (-3)^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.

$f(-1) = \frac{1}{1 + (-1)^2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

$f(0) = \frac{1}{1 + 0^2} = \frac{1}{1} = 1$.

$f(1) = \frac{1}{1 + 1^2} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$.

$f(3) = \frac{1}{1 + 3^2} = \frac{1}{1 + 9} = \frac{1}{10}$.

$f(10) = \frac{1}{1 + 10^2} = \frac{1}{1 + 100} = \frac{1}{101}$.

Теперь сравним полученные значения. Заметим, что $f(-x) = f(x)$, так как $(-x)^2 = x^2$.

Сравним дроби $\frac{1}{101}$, $\frac{1}{10}$, $\frac{1}{2}$ и $1$. Из дробей с одинаковым числителем (равным 1) больше та, у которой знаменатель меньше.

Так как $1 < 2 < 10 < 101$, то $1 > \frac{1}{2} > \frac{1}{10} > \frac{1}{101}$.

Таким образом, $f(0) > f(-1) = f(1) > f(-3) = f(3) > f(-10) = f(10)$.

Ответ: $f(-10) = f(10) = \frac{1}{101}$; $f(-3) = f(3) = \frac{1}{10}$; $f(-1) = f(1) = \frac{1}{2}$; $f(0) = 1$. Сравнение: $f(-10) = f(10) < f(-3) = f(3) < f(-1) = f(1) < f(0)$.

3) Найдите наибольшее значение функции.

Функция $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ представляет собой дробь с постоянным положительным числителем. Значение такой дроби будет наибольшим, когда её знаменатель $1+x^2$ будет наименьшим. Рассмотрим знаменатель $1+x^2$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, наименьшее значение выражения $x^2$ равно 0 и достигается при $x=0$. Следовательно, наименьшее значение знаменателя $1+x^2$ равно $1+0=1$. Таким образом, наибольшее значение функции равно $f(0) = \frac{1}{1} = 1$.

Ответ: Наибольшее значение функции равно 1.

4) Может ли значение функции быть равным 0 или отрицательному числу? Обоснуйте ответ.

Рассмотрим, может ли $f(x)$ быть равным 0. Уравнение $f(x) = 0$ эквивалентно $\frac{1}{1+x^2} = 0$. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда её числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. В данном случае числитель равен 1, что не равно 0. Следовательно, значение функции не может быть равно 0.

Рассмотрим, может ли $f(x)$ быть отрицательным. Неравенство $f(x) < 0$ означает $\frac{1}{1+x^2} < 0$. Числитель дроби, равный 1, является положительным числом. Знаменатель $1+x^2$ также всегда положителен, так как $x^2 \ge 0$, и, следовательно, $1+x^2 \ge 1$. Частное двух положительных чисел всегда является положительным числом. Таким образом, $f(x) > 0$ для любого $x$.

Ответ: Нет, не может. Значение функции не может быть равным 0, так как числитель дроби (1) не равен 0. Оно также не может быть отрицательным, так как числитель и знаменатель дроби всегда положительны, а их частное будет положительным.

5) Запишите область значений функции в виде числового промежутка.

Область значений функции — это множество всех значений, которые может принимать $f(x)$. Из пункта 3 мы знаем, что наибольшее значение функции равно 1, и оно достигается при $x=0$. То есть $f(x) \le 1$ для всех $x$. Из пункта 4 мы знаем, что функция всегда принимает строго положительные значения, то есть $f(x) > 0$. Объединяя эти два условия, получаем, что значения функции лежат в пределах $0 < f(x) \le 1$.

Докажем, что функция принимает все значения из этого промежутка. Пусть $y$ — любое число из $(0, 1]$. Попробуем найти такое $x$, что $f(x) = y$.

$y = \frac{1}{1+x^2}$.

Так как $y \ne 0$, можно выразить $x^2$:

$1+x^2 = \frac{1}{y}$

$x^2 = \frac{1}{y} - 1$.

Поскольку $y \in (0, 1]$, то $0 < y \le 1$. Это означает, что $\frac{1}{y} \ge 1$, и, следовательно, выражение $\frac{1}{y} - 1 \ge 0$. Значит, для любого $y$ из указанного промежутка существует действительное значение $x = \pm\sqrt{\frac{1}{y}-1}$. Это доказывает, что область значений функции — это все числа от 0 (не включая) до 1 (включая).

Ответ: Область значений функции — промежуток $(0, 1]$.