Номер 5.6, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.6. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $x^2+2xy+y^2$;

2) $a^2+2a+1$;

3) $b^2-6b+9$;

4) $c^2-10c+25$;

5) $4m^2+4m+1$;

6) $16-8c+c^2$.

Для решения данной задачи мы будем использовать формулы сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

$(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$ (квадрат суммы)

$(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ (квадрат разности)

1) Дан трехчлен $x^2+2xy+y^2$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Первый член $x^2$ является квадратом $x$, то есть $a=x$.

Третий член $y^2$ является квадратом $y$, то есть $b=y$.

Средний член $2xy$ является удвоенным произведением $x$ и $y$: $2ab = 2 \cdot x \cdot y = 2xy$.

Таким образом, данный трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена $(x+y)$.

Ответ: $(x+y)^2$

2) Дан трехчлен $a^2+2a+1$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Первый член $a^2$ является квадратом $a$, то есть $x=a$.

Третий член $1$ является квадратом $1$ ($1^2=1$), то есть $y=1$.

Средний член $2a$ является удвоенным произведением $a$ и $1$: $2xy = 2 \cdot a \cdot 1 = 2a$.

Следовательно, данный трехчлен является квадратом двучлена $(a+1)$.

Ответ: $(a+1)^2$

3) Дан трехчлен $b^2-6b+9$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первый член $b^2$ является квадратом $b$, то есть $a=b$.

Третий член $9$ является квадратом $3$ ($3^2=9$), то есть $b=3$.

Средний член $-6b$ является удвоенным произведением $b$ и $3$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot b \cdot 3 = -6b$.

Таким образом, данный трехчлен можно представить как квадрат двучлена $(b-3)$.

Ответ: $(b-3)^2$

4) Дан трехчлен $c^2-10c+25$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первый член $c^2$ является квадратом $c$, то есть $a=c$.

Третий член $25$ является квадратом $5$ ($5^2=25$), то есть $b=5$.

Средний член $-10c$ является удвоенным произведением $c$ и $5$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot c \cdot 5 = -10c$.

Следовательно, данный трехчлен является квадратом двучлена $(c-5)$.

Ответ: $(c-5)^2$

5) Дан трехчлен $4m^2+4m+1$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.

Первый член $4m^2$ является квадратом $2m$ ($(2m)^2=4m^2$), то есть $a=2m$.

Третий член $1$ является квадратом $1$ ($1^2=1$), то есть $b=1$.

Средний член $4m$ является удвоенным произведением $2m$ и $1$: $2ab = 2 \cdot (2m) \cdot 1 = 4m$.

Таким образом, данный трехчлен можно представить как квадрат двучлена $(2m+1)$.

Ответ: $(2m+1)^2$

6) Дан трехчлен $16-8c+c^2$.

Этот трехчлен соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первый член $16$ является квадратом $4$ ($4^2=16$), то есть $a=4$.

Третий член $c^2$ является квадратом $c$, то есть $b=c$.

Средний член $-8c$ является удвоенным произведением $4$ и $c$ со знаком минус: $-2ab = -2 \cdot 4 \cdot c = -8c$.

Следовательно, данный трехчлен является квадратом двучлена $(4-c)$.

Ответ: $(4-c)^2$