Номер 5.9, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.9. Замените $\square$ одночленом так, чтобы трехчлен стал квадратом двуч-лена:

1) $\square+2ac+c^2$;

2) $m^2-\square+n^2$;

3) $x^2-4xy+\square$;

4) $a^2+2ca+\square$;

5) $\square+14c+49$;

6) $k^2-\square+9$.

Для того чтобы трехчлен являлся квадратом двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

В каждом случае мы будем определять, какие компоненты формулы нам даны, и находить недостающий одночлен.

1) В выражении $ \Box+2ac+c^2 $ мы видим удвоенное произведение $2ac$ и квадрат второго члена $c^2$. Это соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Здесь $b^2 = c^2$, значит, $b=c$.

Удвоенное произведение равно $2ab = 2ac$. Подставляя $b=c$, получаем $2ac = 2ac$, что подтверждает наш выбор.

Недостающий член $ \Box $ должен быть квадратом первого члена, то есть $a^2$.

Таким образом, $a^2+2ac+c^2 = (a+c)^2$.

Ответ: $a^2$

2) В выражении $m^2-\Box+n^2$ даны квадраты первого и второго членов ($m^2$ и $n^2$). Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a^2=m^2$, значит, $a=m$. И $b^2=n^2$, значит, $b=n$.

Недостающий член $ \Box $ — это удвоенное произведение первого и второго членов, то есть $2ab = 2 \cdot m \cdot n = 2mn$.

Таким образом, $m^2-2mn+n^2 = (m-n)^2$.

Ответ: $2mn$

3) В выражении $x^2-4xy+\Box$ дан квадрат первого члена $x^2$ и удвоенное произведение $-4xy$. Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a^2=x^2$, значит, $a=x$.

Удвоенное произведение $2ab = 4xy$. Подставляя $a=x$, получаем $2xb = 4xy$. Отсюда находим второй член $b$: $b = \frac{4xy}{2x} = 2y$.

Недостающий член $ \Box $ — это квадрат второго члена, то есть $b^2 = (2y)^2 = 4y^2$.

Таким образом, $x^2-4xy+4y^2 = (x-2y)^2$.

Ответ: $4y^2$

4) В выражении $a^2+2ca+\Box$ дан квадрат первого члена $a^2$ и удвоенное произведение $2ca$. Это соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$.

Здесь $x^2=a^2$, значит, $x=a$.

Удвоенное произведение $2xy = 2ca$. Подставляя $x=a$, получаем $2ay = 2ca$. Отсюда находим второй член $y$: $y=c$.

Недостающий член $ \Box $ — это квадрат второго члена, то есть $y^2=c^2$.

Таким образом, $a^2+2ca+c^2 = (a+c)^2$.

Ответ: $c^2$

5) В выражении $\Box+14c+49$ дано удвоенное произведение $14c$ и квадрат второго члена $49$. Это соответствует формуле квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Здесь $b^2=49$, значит, $b=7$.

Удвоенное произведение $2ab = 14c$. Подставляя $b=7$, получаем $2a \cdot 7 = 14c$, или $14a=14c$. Отсюда находим первый член $a$: $a=c$.

Недостающий член $ \Box $ — это квадрат первого члена, то есть $a^2=c^2$.

Таким образом, $c^2+14c+49 = (c+7)^2$.

Ответ: $c^2$

6) В выражении $k^2-\Box+9$ даны квадраты первого и второго членов ($k^2$ и $9$). Это соответствует формуле квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$.

Здесь $a^2=k^2$, значит, $a=k$. И $b^2=9$, значит, $b=3$.

Недостающий член $ \Box $ — это удвоенное произведение первого и второго членов, то есть $2ab = 2 \cdot k \cdot 3 = 6k$.

Таким образом, $k^2-6k+9 = (k-3)^2$.

Ответ: $6k$