Номер 5.7, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.7. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $9a^2-24ab+16b^2$;

2) $4c^2+12c+9$;

3) $25x^2+10x+1$;

4) $81x^2-18xy+y^2$;

5) $m^2+4n^2-4mn$;

6) $100a^2+b^2+20ab$.

Для решения данной задачи используются формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

1) $9a^2 - 24ab + 16b^2$

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $9a^2 = (3a)^2$ и $16b^2 = (4b)^2$.

Теперь проверим, является ли средний член удвоенным произведением $3a$ и $4b$. Так как перед ним стоит знак минус, используем формулу квадрата разности:

$2 \cdot (3a) \cdot (4b) = 24ab$.

Поскольку $9a^2 - 24ab + 16b^2 = (3a)^2 - 2 \cdot (3a) \cdot (4b) + (4b)^2$, мы можем свернуть это выражение по формуле квадрата разности.

Ответ: $(3a - 4b)^2$

2) $4c^2 + 12c + 9$

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $4c^2 = (2c)^2$ и $9 = 3^2$.

Так как все знаки — плюсы, проверим соответствие формуле квадрата суммы. Удвоенное произведение $2c$ и $3$ равно:

$2 \cdot (2c) \cdot 3 = 12c$.

Средний член совпадает. Значит, $4c^2 + 12c + 9 = (2c)^2 + 2 \cdot (2c) \cdot 3 + 3^2$.

Ответ: $(2c + 3)^2$

3) $25x^2 + 10x + 1$

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $25x^2 = (5x)^2$ и $1 = 1^2$.

Используем формулу квадрата суммы. Проверим средний член:

$2 \cdot (5x) \cdot 1 = 10x$.

Выражение полностью соответствует формуле: $25x^2 + 10x + 1 = (5x)^2 + 2 \cdot (5x) \cdot 1 + 1^2$.

Ответ: $(5x + 1)^2$

4) $81x^2 - 18xy + y^2$

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $81x^2 = (9x)^2$ и $y^2 = (y)^2$.

Так как средний член имеет знак минус, используем формулу квадрата разности. Проверим удвоенное произведение:

$2 \cdot (9x) \cdot y = 18xy$.

Выражение соответствует формуле: $81x^2 - 18xy + y^2 = (9x)^2 - 2 \cdot (9x) \cdot y + y^2$.

Ответ: $(9x - y)^2$

5) $m^2 + 4n^2 - 4mn$

Для удобства переставим члены: $m^2 - 4mn + 4n^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $m^2 = (m)^2$ и $4n^2 = (2n)^2$.

Используем формулу квадрата разности. Проверим средний член:

$2 \cdot m \cdot (2n) = 4mn$.

Выражение соответствует формуле: $m^2 - 4mn + 4n^2 = (m)^2 - 2 \cdot m \cdot (2n) + (2n)^2$.

Ответ: $(m - 2n)^2$

6) $100a^2 + b^2 + 20ab$

Переставим члены для приведения к стандартному виду: $100a^2 + 20ab + b^2$.

Представим первый и третий члены в виде квадратов: $100a^2 = (10a)^2$ и $b^2 = (b)^2$.

Используем формулу квадрата суммы. Проверим средний член:

$2 \cdot (10a) \cdot b = 20ab$.

Выражение соответствует формуле: $100a^2 + 20ab + b^2 = (10a)^2 + 2 \cdot (10a) \cdot b + b^2$.

Ответ: $(10a + b)^2$