Номер 5.8, страница 139 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.8. Преобразуйте трехчлен в квадрат двучлена:

1) $1+a^2-2a;$

2) $4xy+y^2+4x^2;$

3) $28ab+49a^2+4b^2;$

4) $10mn+100m^2+0.25n^2;$

5) $\frac{1}{4}a^2+4b^2-2ab;;$

6) $8ab+b^2+16a^2.$

1) Чтобы преобразовать трехчлен $1+a^2-2a$ в квадрат двучлена, необходимо распознать формулу сокращенного умножения. В данном случае это квадрат разности: $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Переставим члены трехчлена для удобства: $1-2a+a^2$.

Здесь можно увидеть, что первый член — это $1^2$, третий член — это $a^2$, а средний член $-2a$ — это их удвоенное произведение со знаком минус: $-2 \cdot 1 \cdot a$.

Следовательно, выражение является полным квадратом разности $1$ и $a$.

$1-2a+a^2 = (1-a)^2$.

Ответ: $(1-a)^2$.

2) Рассмотрим трехчлен $4xy+y^2+4x^2$. Для преобразования воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Перегруппируем слагаемые: $4x^2+4xy+y^2$.

Первый член $4x^2$ является квадратом выражения $2x$, то есть $(2x)^2$. Третий член $y^2$ является квадратом $y$.

Проверим средний член $4xy$. Он должен быть равен удвоенному произведению $2x$ и $y$: $2 \cdot (2x) \cdot y = 4xy$.

Поскольку все условия формулы выполняются, данный трехчлен является квадратом суммы $2x$ и $y$.

$4x^2+4xy+y^2 = (2x+y)^2$.

Ответ: $(2x+y)^2$.

3) Преобразуем трехчлен $28ab+49a^2+4b^2$.

Расположим члены в стандартном порядке: $49a^2+28ab+4b^2$.

Это выражение похоже на формулу квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Определим $x$ и $y$. Первый член $49a^2 = (7a)^2$, третий член $4b^2 = (2b)^2$.

Средний член $28ab$ должен быть удвоенным произведением $7a$ и $2b$: $2 \cdot (7a) \cdot (2b) = 28ab$.

Условие выполняется, значит, исходный трехчлен можно свернуть в квадрат суммы.

$49a^2+28ab+4b^2 = (7a+2b)^2$.

Ответ: $(7a+2b)^2$.

4) Дан трехчлен $10mn+100m^2+0,25n^2$.

Переставим члены, чтобы было удобнее работать с формулой квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$: $100m^2+10mn+0,25n^2$.

Первый член $100m^2$ — это квадрат от $10m$. Третий член $0,25n^2$ — это квадрат от $0,5n$.

Проверим средний член. Удвоенное произведение $10m$ и $0,5n$ равно $2 \cdot (10m) \cdot (0,5n) = 20m \cdot 0,5n = 10mn$.

Это в точности совпадает со средним членом исходного выражения. Значит, это полный квадрат суммы.

$100m^2+10mn+0,25n^2 = (10m+0,5n)^2$.

Ответ: $(10m+0,5n)^2$.

5) Требуется преобразовать выражение $\frac{1}{4}a^2+4b^2-2ab$.

Применим формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Перегруппируем члены: $\frac{1}{4}a^2-2ab+4b^2$.

Первый член $\frac{1}{4}a^2$ является квадратом от $\frac{1}{2}a$. Третий член $4b^2$ является квадратом от $2b$.

Средний член $-2ab$ должен быть удвоенным произведением $\frac{1}{2}a$ и $2b$ со знаком минус: $-2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (2b) = -a \cdot 2b = -2ab$.

Соответствие формуле полное.

$\frac{1}{4}a^2-2ab+4b^2 = (\frac{1}{2}a-2b)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a-2b)^2$.

6) Преобразуем трехчлен $8ab+b^2+16a^2$.

Для удобства расположим члены в порядке убывания степеней переменной $a$: $16a^2+8ab+b^2$.

Эта структура соответствует формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$.

Первый член $16a^2$ — это $(4a)^2$. Третий член $b^2$ — это $(b)^2$.

Средний член $8ab$ — это удвоенное произведение $4a$ и $b$: $2 \cdot (4a) \cdot b = 8ab$.

Таким образом, данный трехчлен является полным квадратом суммы выражений $4a$ и $b$.

$16a^2+8ab+b^2 = (4a+b)^2$.

Ответ: $(4a+b)^2$.