Номер 5.15, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.15. Можно ли представить трехчлен в виде квадрата двучлена:

1) $a^2-2a+4;$

2) $9m^2+100n^2-60mn;$

3) $4a^2+b^2-4ab;$

4) $81p^2-72pq-16q^2;$

5) $9x^8+4y^2-12x^4y;$

6) $a^2b^4-2ab^2x^4+x^8?$

1) Чтобы представить трехчлен в виде квадрата двучлена, он должен соответствовать одной из формул сокращенного умножения: $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ или $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$.

Рассмотрим трехчлен $a^2-2a+4$. В нем есть два слагаемых, которые являются полными квадратами: $a^2 = (a)^2$ и $4 = 2^2$.

Проверим, соответствует ли этот трехчлен формуле квадрата разности $(a-2)^2$. Раскроем скобки: $(a-2)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 2 + 2^2 = a^2 - 4a + 4$.

Сравнивая полученное выражение $a^2 - 4a + 4$ с исходным $a^2-2a+4$, видим, что средние члены не совпадают ($-4a \neq -2a$).

Следовательно, данный трехчлен нельзя представить в виде квадрата двучлена.

Ответ: нет.

2) Рассмотрим трехчлен $9m^2+100n^2-60mn$. Для удобства переставим слагаемые: $9m^2-60mn+100n^2$.

Проверим, можно ли его представить в виде квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Первый член $9m^2$ является квадратом выражения $3m$, то есть $x=3m$.

Третий член $100n^2$ является квадратом выражения $10n$, то есть $y=10n$.

Теперь проверим средний член. Удвоенное произведение $2xy$ должно быть равно $2 \cdot (3m) \cdot (10n) = 60mn$.

В нашем трехчлене средний член равен $-60mn$, что соответствует $-2xy$.

Таким образом, трехчлен является полным квадратом разности.

Ответ: да, $9m^2+100n^2-60mn = (3m-10n)^2$.

3) Рассмотрим трехчлен $4a^2+b^2-4ab$. Переставим слагаемые, чтобы получить стандартный вид: $4a^2-4ab+b^2$.

Проверим соответствие формуле $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$.

Первый член $4a^2 = (2a)^2$, значит $x=2a$.

Третий член $b^2 = (b)^2$, значит $y=b$.

Удвоенное произведение $2xy = 2 \cdot (2a) \cdot b = 4ab$.

Средний член в трехчлене равен $-4ab$, что соответствует $-2xy$.

Значит, трехчлен можно представить в виде квадрата двучлена.

Ответ: да, $4a^2+b^2-4ab = (2a-b)^2$.

4) Рассмотрим трехчлен $81p^2-72pq-16q^2$.

В формуле квадрата двучлена $(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$ оба члена, являющиеся квадратами ($x^2$ и $y^2$), должны быть положительными.

В данном трехчлене есть член $81p^2 = (9p)^2$, который является положительным квадратом.

Однако, другой член, содержащий переменную $q$ в квадрате, это $-16q^2$. Он отрицательный. Из-за этого условия формулы полного квадрата не выполняются.

Ответ: нет.

5) Рассмотрим трехчлен $9x^8+4y^2-12x^4y$. Перепишем его в стандартном порядке: $9x^8-12x^4y+4y^2$.

Проверим соответствие формуле квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первый член $9x^8 = (3x^4)^2$, значит $a=3x^4$.

Третий член $4y^2 = (2y)^2$, значит $b=2y$.

Проверим удвоенное произведение: $2ab = 2 \cdot (3x^4) \cdot (2y) = 12x^4y$.

Средний член в трехчлене равен $-12x^4y$, что соответствует $-2ab$.

Следовательно, выражение является полным квадратом.

Ответ: да, $9x^8+4y^2-12x^4y = (3x^4-2y)^2$.

6) Рассмотрим трехчлен $a^2b^4-2ab^2x^4+x^8$.

Это выражение уже записано в стандартном виде для формулы квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

Первый член $a^2b^4 = (ab^2)^2$.

Третий член $x^8 = (x^4)^2$.

Средний член $-2ab^2x^4$ является удвоенным произведением $-(2 \cdot (ab^2) \cdot (x^4))$.

Все условия для формулы квадрата разности выполнены.

Ответ: да, $a^2b^4-2ab^2x^4+x^8 = (ab^2-x^4)^2$.