Номер 5.21, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.21. Найдите корни уравнений:

1) $16x(2-x)+(4x-5)^2=0$;

2) $9y(y+6)-(3y+1)^2=-1$;

3) $0,5(x-6)^2+2x \left(8-\frac{x}{4}\right)=2$;

4) $y+(5y+2)^2=25(2+y^2)$.

1) Для решения уравнения $16x(2-x)+(4x-5)^2=0$ раскроем скобки и приведем подобные слагаемые.

Сначала раскроем первое слагаемое:

$16x(2-x) = 32x - 16x^2$

Затем раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(4x-5)^2 = (4x)^2 - 2 \cdot 4x \cdot 5 + 5^2 = 16x^2 - 40x + 25$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$(32x - 16x^2) + (16x^2 - 40x + 25) = 0$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$( - 16x^2 + 16x^2) + (32x - 40x) + 25 = 0$

$0 - 8x + 25 = 0$

$-8x = -25$

$x = \frac{-25}{-8} = \frac{25}{8} = 3.125$

Ответ: $3.125$

2) Для решения уравнения $9y(y+6)-(3y+1)^2=-1$ раскроем скобки.

Раскроем первое слагаемое:

$9y(y+6) = 9y^2 + 54y$

Раскроем второе слагаемое, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(3y+1)^2 = (3y)^2 + 2 \cdot 3y \cdot 1 + 1^2 = 9y^2 + 6y + 1$

Подставим выражения в уравнение. Обратите внимание на знак минус перед второй скобкой:

$(9y^2 + 54y) - (9y^2 + 6y + 1) = -1$

$9y^2 + 54y - 9y^2 - 6y - 1 = -1$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(9y^2 - 9y^2) + (54y - 6y) - 1 = -1$

$48y - 1 = -1$

Перенесем $-1$ в правую часть:

$48y = -1 + 1$

$48y = 0$

$y = \frac{0}{48} = 0$

Ответ: $0$

3) Для решения уравнения $0.5(x-6)^2+2x(8-\frac{x}{4})=2$ раскроем скобки.

Раскроем первое слагаемое, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$0.5(x-6)^2 = 0.5(x^2 - 12x + 36) = 0.5x^2 - 6x + 18$

Раскроем второе слагаемое:

$2x(8-\frac{x}{4}) = 2x \cdot 8 - 2x \cdot \frac{x}{4} = 16x - \frac{2x^2}{4} = 16x - 0.5x^2$

Подставим полученные выражения в уравнение:

$(0.5x^2 - 6x + 18) + (16x - 0.5x^2) = 2$

Сгруппируем и приведем подобные члены:

$(0.5x^2 - 0.5x^2) + (-6x + 16x) + 18 = 2$

$10x + 18 = 2$

Перенесем $18$ в правую часть:

$10x = 2 - 18$

$10x = -16$

$x = \frac{-16}{10} = -1.6$

Ответ: $-1.6$

4) Для решения уравнения $y+(5y+2)^2=25(2+y^2)$ раскроем скобки в обеих частях.

В левой части раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(5y+2)^2 = (5y)^2 + 2 \cdot 5y \cdot 2 + 2^2 = 25y^2 + 20y + 4$

В правой части раскроем скобки:

$25(2+y^2) = 50 + 25y^2$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$y + (25y^2 + 20y + 4) = 50 + 25y^2$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$21y + 25y^2 + 4 = 50 + 25y^2$

Теперь перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые - в правую. Заметим, что $25y^2$ есть в обеих частях, поэтому они взаимно уничтожаются:

$21y + 25y^2 - 25y^2 = 50 - 4$

$21y = 46$

$y = \frac{46}{21}$

Ответ: $\frac{46}{21}$