Номер 5.17, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.17. С помощью рисунка 5.2 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ для положительных $\text{a}$ и $\text{b}$.

Рис. 5.2

На рисунке изображен большой квадрат со стороной $a$. Его площадь равна $a^2$. Этот квадрат разделен на четыре части. Нас интересует квадрат в левом нижнем углу. Его стороны равны $(a-b)$, следовательно, его площадь равна $(a-b)^2$. Геометрический смысл формулы заключается в том, чтобы выразить площадь этого малого квадрата, используя площадь большого квадрата и площади других его частей.

Рассмотрим правую часть формулы: $a^2 - 2ab + b^2$.

Член $a^2$ представляет собой площадь всего большого квадрата.

Чтобы из большого квадрата получить малый квадрат со стороной $(a-b)$, необходимо отсечь от него L-образную область (гномон). Это можно сделать, вычтя из площади $a^2$ площадь вертикального прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (его площадь $ab$) и площадь горизонтального прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (его площадь также $ab$). Вычитая эти два прямоугольника, мы получаем выражение $a^2 - ab - ab = a^2 - 2ab$.

Однако, при таком вычитании, область их пересечения — маленький квадрат в правом верхнем углу со стороной $b$ и площадью $b^2$ — оказывается вычтенной дважды. Первый раз как часть вертикального прямоугольника, второй раз — как часть горизонтального.

Чтобы скомпенсировать это двойное вычитание, необходимо один раз добавить площадь этого квадрата обратно. Это соответствует последнему члену формулы, $+b^2$.

Таким образом, площадь искомого квадрата со стороной $(a-b)$ равна площади большого квадрата, минус площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$, плюс площадь квадрата со стороной $b$ для компенсации двойного вычета. Это и есть геометрическая интерпретация формулы: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Ответ: Площадь квадрата со стороной $(a-b)$ равна $(a-b)^2$. Эту же площадь можно получить, если из площади большого квадрата со стороной $a$ (равной $a^2$) вычесть площади двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (суммарно $2ab$). Так как при этом площадь малого квадрата со стороной $b$ (равная $b^2$) вычитается дважды, ее необходимо один раз прибавить. В результате получается тождество: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.