Номер 5.19, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.19. Замените $\square$ одночленом так, чтобы получившееся равенство было тождеством:

1) $(\square + 2b^2)^2 = 9a^4 + 12a^2b^2 + 4b^4$;

2) $(15m + \square)^2 = 225m^2 + 12n^3m + 0.16n^6$;

3) $(3x^2 - 2.5y)^2 = 9x^4 - \square + 6.25y^2$;

4) $(3x^4 - 2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + \square$.

1) Данное равенство является тождеством, основанным на формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. Пусть искомый одночлен будет $x$, а второй член в скобках $y=2b^2$. Тогда левая часть равенства имеет вид $(x+2b^2)^2=x^2+2 \cdot x \cdot 2b^2 + (2b^2)^2 = x^2+4xb^2+4b^4$. Правая часть равенства: $9a^4+12a^2b^2+4b^4$. Сравнивая правую и левую части, мы видим, что $4b^4$ совпадает с $(2b^2)^2$. Следовательно, $x^2$ должен быть равен $9a^4$. Отсюда находим $x = \sqrt{9a^4} = 3a^2$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot (3a^2) \cdot (2b^2) = 12a^2b^2$. Это совпадает со средним членом в правой части. Таким образом, искомый одночлен — это $3a^2$.

Ответ: $3a^2$.

2) Это равенство также основано на формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$. В левой части $(15m+\Box)^2$ известен первый член $x=15m$. Пусть искомый одночлен будет $y$. Раскроем скобки по формуле: $(15m+y)^2 = (15m)^2+2 \cdot 15m \cdot y + y^2 = 225m^2+30my+y^2$. Правая часть равенства: $225m^2+12n^3m+0,16n^6$. Сравнивая левую и правую части, видим, что $225m^2$ совпадает с $(15m)^2$. Значит, $y^2$ должен быть равен $0,16n^6$. Отсюда находим $y = \sqrt{0,16n^6} = 0,4n^3$. Проверим средний член: $2xy = 2 \cdot 15m \cdot (0,4n^3) = 30m \cdot 0,4n^3 = 12mn^3$. Это совпадает со средним членом в правой части. Следовательно, искомый одночлен — это $0,4n^3$.

Ответ: $0,4n^3$.

3) В этом случае используется формула квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. В левой части $(3x^2-2,5y)^2$ нам известны оба члена: $x=3x^2$ и $y=2,5y$. Раскроем скобки по формуле: $(3x^2-2,5y)^2=(3x^2)^2 - 2 \cdot 3x^2 \cdot 2,5y + (2,5y)^2 = 9x^4 - 15x^2y + 6,25y^2$. Правая часть равенства: $9x^4 - \Box + 6,25y^2$. Сравнивая полученное выражение с правой частью равенства, видим, что первый и последний члены совпадают. Недостающий член (на месте квадрата) — это удвоенное произведение $2xy$, которое мы уже вычислили: $2 \cdot 3x^2 \cdot 2,5y = 15x^2y$. Таким образом, искомый одночлен — $15x^2y$.

Ответ: $15x^2y$.

4) Снова используем формулу квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$. В левой части $(3x^4-2a^6)^2$ известны члены $x=3x^4$ и $y=2a^6$. Раскроем скобки: $(3x^4-2a^6)^2=(3x^4)^2 - 2 \cdot 3x^4 \cdot 2a^6 + (2a^6)^2 = 9x^8 - 12x^4a^6 + 4a^{12}$. Правая часть равенства: $9x^8 - 12x^4a^6 + \Box$. Сравнивая две части, видим, что первый и средний члены совпадают. Недостающий член (на месте квадрата) — это квадрат второго члена $y^2$, который мы уже вычислили: $(2a^6)^2 = 4a^{12}$. Следовательно, искомый одночлен — $4a^{12}$.

Ответ: $4a^{12}$.