Номер 5.23, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.23. Выполните действия:

1) $((3a+b)^2-(a+3b)^2) \cdot 2ab;$

2) $((x^2+2x)^2+(2x^2-x)^2):(5x^2).$

1) $((3a+b)²-(a+3b)²) \cdot 2ab$

Для упрощения выражения в скобках применим формулу разности квадратов $X^2-Y^2=(X-Y)(X+Y)$, где $X=3a+b$ и $Y=a+3b$.

$((3a+b)-(a+3b)) \cdot ((3a+b)+(a+3b))$

Упростим выражение в каждой из скобок:

Первая скобка: $(3a+b)-(a+3b) = 3a+b-a-3b = 2a-2b = 2(a-b)$.

Вторая скобка: $(3a+b)+(a+3b) = 3a+b+a+3b = 4a+4b = 4(a+b)$.

Теперь перемножим результаты: $2(a-b) \cdot 4(a+b) = 8(a-b)(a+b)$.

Снова применяем формулу разности квадратов: $8(a^2-b^2) = 8a^2-8b^2$.

Наконец, умножим полученное выражение на $2ab$:

$(8a^2-8b^2) \cdot 2ab = 8a^2 \cdot 2ab - 8b^2 \cdot 2ab = 16a^3b - 16ab^3$.

Ответ: $16a^3b - 16ab^3$

2) $((x²+2x)²+(2x²-x)²) : (5x²)$

Сначала выполним действия в скобках. Раскроем квадраты, используя формулы квадрата суммы $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$ и квадрата разности $(A-B)^2=A^2-2AB+B^2$.

$(x^2+2x)^2 = (x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 2x + (2x)^2 = x^4 + 4x^3 + 4x^2$.

$(2x^2-x)^2 = (2x^2)^2 - 2 \cdot 2x^2 \cdot x + x^2 = 4x^4 - 4x^3 + x^2$.

Теперь сложим полученные многочлены:

$(x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (4x^4 - 4x^3 + x^2) = x^4 + 4x^3 + 4x^2 + 4x^4 - 4x^3 + x^2$.

Приведем подобные слагаемые:

$(x^4+4x^4) + (4x^3-4x^3) + (4x^2+x^2) = 5x^4 + 0 + 5x^2 = 5x^4 + 5x^2$.

Теперь разделим результат на $5x^2$:

$(5x^4 + 5x^2) : (5x^2) = \frac{5x^4 + 5x^2}{5x^2}$.

Вынесем общий множитель $5x^2$ в числителе:

$\frac{5x^2(x^2+1)}{5x^2}$.

Сократим дробь на $5x^2$ (при условии, что $x \neq 0$):

$x^2+1$.

Ответ: $x^2+1$