Номер 5.30, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.30. Докажите тождество:

$(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc.$

Для доказательства данного тождества необходимо преобразовать его левую часть и показать, что она равна правой.

Левая часть тождества представляет собой квадрат суммы трех слагаемых: $(a+b+c)^2$. По определению, возведение в квадрат означает умножение выражения само на себя:

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c)$

Чтобы раскрыть скобки, нужно каждый член из первой скобки умножить на каждый член из второй скобки (правило умножения многочленов):

$a \cdot (a+b+c) + b \cdot (a+b+c) + c \cdot (a+b+c) = a \cdot a + a \cdot b + a \cdot c + b \cdot a + b \cdot b + b \cdot c + c \cdot a + c \cdot b + c \cdot c$

Выполнив умножение, получаем:

$a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Учитывая, что от перемены мест множителей произведение не меняется (коммутативность умножения), имеем $ab = ba$, $ac = ca$ и $bc = cb$. Сгруппируем члены:

$a^2 + b^2 + c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb)$

Сложив подобные слагаемые, получаем выражение, идентичное правой части исходного тождества:

$a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$

Так как в результате преобразований левая часть равенства стала равна правой, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.