Номер 5.32, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.32. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $( (a+b)^2 )^2$;

2) $(a-b)^4$.

1) Чтобы представить выражение $ ((a+b)^2)^2 $ в виде многочлена, сначала раскроем внутренние скобки, используя формулу квадрата суммы $ (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 $.

$ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $

Теперь исходное выражение принимает вид:

$ ((a+b)^2)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)^2 $

Далее возведем в квадрат полученный трехчлен. Это можно сделать, умножив его на себя:

$ (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) = $

$ = a^2(a^2 + 2ab + b^2) + 2ab(a^2 + 2ab + b^2) + b^2(a^2 + 2ab + b^2) = $

$ = a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ = a^4 + (2a^3b + 2a^3b) + (a^2b^2 + 4a^2b^2 + a^2b^2) + (2ab^3 + 2ab^3) + b^4 = $

$ = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $

Ответ: $ a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4 $

2) Чтобы представить выражение $ (a-b)^4 $ в виде многочлена, представим его как квадрат выражения $ (a-b)^2 $:

$ (a-b)^4 = ((a-b)^2)^2 $

Сначала раскроем скобки $ (a-b)^2 $, используя формулу квадрата разности $ (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 $.

$ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $

Теперь подставим полученный результат в наше выражение:

$ ((a-b)^2)^2 = (a^2 - 2ab + b^2)^2 $

Далее возведем в квадрат полученный трехчлен, умножив его на себя:

$ (a^2 - 2ab + b^2)(a^2 - 2ab + b^2) = $

$ = a^2(a^2 - 2ab + b^2) - 2ab(a^2 - 2ab + b^2) + b^2(a^2 - 2ab + b^2) = $

$ = (a^4 - 2a^3b + a^2b^2) - (2a^3b - 4a^2b^2 + 2ab^3) + (a^2b^2 - 2ab^3 + b^4) = $

$ = a^4 - 2a^3b + a^2b^2 - 2a^3b + 4a^2b^2 - 2ab^3 + a^2b^2 - 2ab^3 + b^4 $

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$ = a^4 + (-2a^3b - 2a^3b) + (a^2b^2 + 4a^2b^2 + a^2b^2) + (-2ab^3 - 2ab^3) + b^4 = $

$ = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 $

Ответ: $ a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4 $