Номер 5.34, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.34. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2);$

2) $(a+3b)(a-3b).$

1) Чтобы представить выражение $(a^3-3a^2b+b)(2a^2+2ab-3b^2)$ в виде многочлена, необходимо умножить каждый член первого многочлена на каждый член второго многочлена, а затем привести подобные слагаемые.

Выполним умножение по шагам:

1. Умножим $a^3$ на второй многочлен:

$a^3(2a^2+2ab-3b^2) = a^3 \cdot 2a^2 + a^3 \cdot 2ab + a^3 \cdot (-3b^2) = 2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2$

2. Умножим $-3a^2b$ на второй многочлен:

$-3a^2b(2a^2+2ab-3b^2) = (-3a^2b) \cdot 2a^2 + (-3a^2b) \cdot 2ab + (-3a^2b) \cdot (-3b^2) = -6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3$

3. Умножим $b$ на второй многочлен:

$b(2a^2+2ab-3b^2) = b \cdot 2a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot (-3b^2) = 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Теперь сложим все полученные произведения:

$(2a^5 + 2a^4b - 3a^3b^2) + (-6a^4b - 6a^3b^2 + 9a^2b^3) + (2a^2b + 2ab^2 - 3b^3)$

Раскроем скобки и сгруппируем подобные члены:

$2a^5 + (2a^4b - 6a^4b) + (-3a^3b^2 - 6a^3b^2) + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Приведем подобные слагаемые:

$2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

Ответ: $2a^5 - 4a^4b - 9a^3b^2 + 9a^2b^3 + 2a^2b + 2ab^2 - 3b^3$

2) Для представления выражения $(a+3b)(a-3b)$ в виде многочлена используется формула сокращенного умножения "разность квадратов", которая имеет вид $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$.

В данном выражении $x$ соответствует $a$, а $y$ соответствует $3b$. Применим формулу:

$(a+3b)(a-3b) = a^2 - (3b)^2$

Теперь возведем $3b$ в квадрат:

$(3b)^2 = 3^2 \cdot b^2 = 9b^2$

Подставив полученное значение обратно в выражение, получаем итоговый многочлен:

$a^2 - 9b^2$

Также можно выполнить умножение "в лоб", перемножив каждый член первой скобки на каждый член второй:

$(a+3b)(a-3b) = a \cdot a + a \cdot (-3b) + 3b \cdot a + 3b \cdot (-3b) = a^2 - 3ab + 3ab - 9b^2$

Взаимно уничтожаем подобные слагаемые $-3ab$ и $+3ab$, и получаем тот же результат:

$a^2 - 9b^2$

Ответ: $a^2 - 9b^2$