Номер 5.39, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.39. Представьте выражение в виде многочлена:

1) $(-c+d)(c+d)$;

2) $(-a+b)(b-a)$;

3) $(-x-y)(x-y)$;

4) $(a+b)(-a-b)$;

5) $(x-y)(y-x)$;

6) $(-a-b)(-a-b)$.

1) Чтобы представить выражение $(-c+d)(c+d)$ в виде многочлена, можно поменять местами слагаемые в первой скобке и применить формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

$(-c+d)(c+d) = (d-c)(d+c)$

Применяя формулу, где в роли $a$ выступает $d$, а в роли $b$ выступает $c$, получаем:

$(d-c)(d+c) = d^2 - c^2$

Также можно просто раскрыть скобки:

$(-c+d)(c+d) = -c \cdot c - c \cdot d + d \cdot c + d \cdot d = -c^2 - cd + cd + d^2 = d^2 - c^2$

Ответ: $d^2 - c^2$

2) В выражении $(-a+b)(b-a)$ поменяем местами слагаемые в первой скобке, чтобы сделать оба множителя одинаковыми.

$(-a+b) = (b-a)$

Тогда исходное выражение примет вид:

$(b-a)(b-a) = (b-a)^2$

Используем формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(b-a)^2 = b^2 - 2ba + a^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 - 2ab + b^2$

3) Для выражения $(-x-y)(x-y)$ вынесем знак минус за скобки в первом множителе.

$(-x-y)(x-y) = -(x+y)(x-y)$

Теперь применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$:

$-(x+y)(x-y) = -(x^2 - y^2) = -x^2 + y^2$

Для удобства можно записать, начиная с положительного члена: $y^2 - x^2$.

Ответ: $y^2 - x^2$

4) В выражении $(a+b)(-a-b)$ вынесем знак минус за скобки во втором множителе.

$(a+b)(-a-b) = (a+b) \cdot (-(a+b)) = -(a+b)(a+b) = -(a+b)^2$

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ и раскроем скобки:

$-(a+b)^2 = -(a^2 + 2ab + b^2) = -a^2 - 2ab - b^2$

Ответ: $-a^2 - 2ab - b^2$

5) Рассмотрим выражение $(x-y)(y-x)$. Вынесем знак минус из второго множителя, чтобы сделать скобки одинаковыми.

$(y-x) = -(x-y)$

Подставим это в исходное выражение:

$(x-y)(-(x-y)) = -(x-y)(x-y) = -(x-y)^2$

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$-(x-y)^2 = -(x^2 - 2xy + y^2) = -x^2 + 2xy - y^2$

Ответ: $-x^2 + 2xy - y^2$

6) Выражение $(-a-b)(-a-b)$ является квадратом двучлена $(-a-b)$.

$(-a-b)(-a-b) = (-a-b)^2$

Вынесем минус за скобку. Поскольку вся скобка возводится в квадрат, знак минус исчезает:

$(-a-b)^2 = (-(a+b))^2 = (-1)^2 \cdot (a+b)^2 = (a+b)^2$

Теперь используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ответ: $a^2 + 2ab + b^2$