Номер 5.43, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.43. Решите уравнение:

1) $x^2-9=0;$

2) $x^2-0,04=0;$

3) $x^2-81=0;$

4) $y^2-\frac{1}{9}=0;$

5) $y^2-1\frac{9}{16}=0;$

6) $y^2-2\frac{1}{4}=0.$

1) $x^2-9=0$

Это неполное квадратное уравнение вида $ax^2+c=0$. Для его решения перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$x^2 = 9$

Теперь извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Важно помнить, что уравнение $x^2 = a$ (при $a > 0$) имеет два корня: $\sqrt{a}$ и $-\sqrt{a}$.

$x = \pm\sqrt{9}$

$x_1 = 3$, $x_2 = -3$

Также это уравнение можно решить, разложив левую часть по формуле разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2 - 3^2 = 0$

$(x-3)(x+3) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

$x-3=0$ или $x+3=0$

$x=3$ или $x=-3$

Ответ: $x = \pm3$.

2) $x^2-0,04=0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 0,04$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{0,04}$

Так как $0,2^2 = 0,04$, получаем два корня:

$x_1 = 0,2$, $x_2 = -0,2$

Ответ: $x = \pm0,2$.

3) $x^2-81=0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$x^2 = 81$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$x = \pm\sqrt{81}$

Получаем два корня:

$x_1 = 9$, $x_2 = -9$

Ответ: $x = \pm9$.

4) $y^2-\frac{1}{9}=0$

Перенесем свободный член в правую часть:

$y^2 = \frac{1}{9}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{1}{9}}$

$y = \pm\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{1}{3}$, $y_2 = -\frac{1}{3}$

Ответ: $y = \pm\frac{1}{3}$.

5) $y^2-1\frac{9}{16}=0$

Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$1\frac{9}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 9}{16} = \frac{25}{16}$

Теперь уравнение имеет вид:

$y^2 - \frac{25}{16} = 0$

Перенесем дробь в правую часть:

$y^2 = \frac{25}{16}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{25}{16}}$

$y = \pm\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{5}{4}$, $y_2 = -\frac{5}{4}$

Корни можно также записать в виде смешанных чисел: $y = \pm 1\frac{1}{4}$.

Ответ: $y = \pm\frac{5}{4}$.

6) $y^2-2\frac{1}{4}=0$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

Подставим полученную дробь в уравнение:

$y^2 - \frac{9}{4} = 0$

Перенесем дробь в правую часть:

$y^2 = \frac{9}{4}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей:

$y = \pm\sqrt{\frac{9}{4}}$

$y = \pm\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{3}{2}$, $y_2 = -\frac{3}{2}$

Корни можно также записать в виде десятичных дробей: $y = \pm 1,5$.

Ответ: $y = \pm\frac{3}{2}$.