Вопросы, страница 143 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

3. Докажите формулу (3).

1. Чему равно произведение разности и суммы двух выражений?

Пусть даны два произвольных выражения, которые мы обозначим как $a$ и $b$.

Разность этих выражений записывается как $(a - b)$.

Сумма этих выражений записывается как $(a + b)$.

Требуется найти их произведение: $(a - b)(a + b)$.

Для этого раскроем скобки, умножив каждый член первого двучлена на каждый член второго (по правилу умножения многочленов): $(a - b)(a + b) = a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$.

Упростим полученное выражение. Учитывая, что $a \cdot b = b \cdot a$, слагаемые $ab$ и $-ab$ взаимно уничтожаются: $a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.

Таким образом, произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов.

Ответ: Произведение разности и суммы двух выражений равно разности их квадратов, что выражается формулой $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.

2. Чему равна разность квадратов двух выражений?

Разность квадратов двух выражений $a$ и $b$ — это выражение вида $a^2 - b^2$.

Это выражение является левой частью известной формулы сокращенного умножения, называемой "разность квадратов".

Согласно этой формуле, разность квадратов двух выражений можно разложить на множители, которые представляют собой произведение разности этих выражений на их сумму: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Ответ: Разность квадратов двух выражений равна произведению разности этих выражений на их сумму: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

3. Докажите формулу (3).

Хотя формула (3) не приведена в вопросе, из контекста первых двух пунктов следует, что речь идет о формуле разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Доказательство тождества заключается в преобразовании одной его части к виду другой. Докажем, что правая часть равна левой.

Возьмем правую часть формулы: $(a - b)(a + b)$.

Раскроем скобки, используя правило умножения многочлена на многочлен (дистрибутивный закон): $(a - b)(a + b) = a \cdot (a + b) - b \cdot (a + b)$.

Далее, снова применяя дистрибутивный закон, получаем: $a \cdot a + a \cdot b - b \cdot a - b \cdot b$.

Упростим выражение. Так как в алгебре умножение коммутативно ($ab = ba$), то слагаемые $ab$ и $-ba$ являются подобными и в сумме дают ноль: $a^2 + ab - ab - b^2 = a^2 - b^2$.

Полученное выражение $a^2 - b^2$ в точности совпадает с левой частью исходной формулы.

Таким образом, равенство $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ является верным. Тождество доказано.

Ответ: Для доказательства формулы $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ необходимо преобразовать ее правую часть: $(a - b)(a + b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$. Так как правая часть после преобразований стала равна левой, формула доказана.