Номер 5.31, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.31. Докажите, что многочлен $3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - 2pq - 2pr - 2rq$ принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных.

Для доказательства того, что многочлен $3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - 2pq - 2pr - 2rq$ принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных, преобразуем его, представив в виде суммы квадратов.

Исходный многочлен:

$3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - 2pq - 2pr - 2rq$

Представим члены с квадратами в виде суммы: $3p^2 = p^2 + p^2 + p^2$, $3q^2 = q^2 + q^2 + q^2$ и $3r^2 = r^2 + r^2 + r^2$. Теперь сгруппируем слагаемые так, чтобы выделить полные квадраты разности:

$(p^2 - 2pq + q^2) + (p^2 - 2pr + r^2) + (q^2 - 2rq + r^2) + p^2 + q^2 + r^2$

Убедимся, что это выражение тождественно исходному, раскрыв скобки и сгруппировав подобные члены:

$(p^2+p^2+p^2) + (q^2+q^2+q^2) + (r^2+r^2+r^2) - 2pq - 2pr - 2rq = 3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - 2pq - 2pr - 2rq$

Преобразование выполнено верно. Теперь запишем полученные группы слагаемых в виде квадратов, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(p-q)^2 + (p-r)^2 + (q-r)^2 + p^2 + q^2 + r^2$

Полученное выражение представляет собой сумму шести слагаемых. Каждое из этих слагаемых является квадратом действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю):

$(p-q)^2 \ge 0$

$(p-r)^2 \ge 0$

$(q-r)^2 \ge 0$

$p^2 \ge 0$

$q^2 \ge 0$

$r^2 \ge 0$

Сумма неотрицательных слагаемых также является неотрицательной величиной. Следовательно, для любых численных значений переменных $p$, $q$ и $r$ справедливо неравенство:

$(p-q)^2 + (p-r)^2 + (q-r)^2 + p^2 + q^2 + r^2 \ge 0$

Таким образом, мы доказали, что исходный многочлен $3p^2 + 3q^2 + 3r^2 - 2pq - 2pr - 2rq$ принимает неотрицательное значение при любых численных значениях переменных.

Ответ: Утверждение доказано путем представления многочлена в виде суммы квадратов, которая всегда является неотрицательной величиной.