Номер 5.26, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.26. Докажите равенство:

1) $ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3; $

2) $ (a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3. $

1) Чтобы доказать равенство, раскроем левую часть формулы, используя определение степени и формулу квадрата суммы.

Выражение $(a+b)^3$ можно представить как произведение $(a+b)$ и $(a+b)^2$.

$(a+b)^3 = (a+b)(a+b)^2$

Используем формулу сокращенного умножения для квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

Подставим это выражение в наше уравнение:

$(a+b)(a^2+2ab+b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов, умножая каждый член из первой скобки на каждый член из второй:

$a \cdot (a^2+2ab+b^2) + b \cdot (a^2+2ab+b^2) = a^3+2a^2b+ab^2 + a^2b+2ab^2+b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Таким образом, мы получили, что левая часть равенства $(a+b)^3$ тождественно равна правой части $a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ доказано.

2) Для доказательства этого равенства можно поступить аналогично первому пункту, раскрыв скобки. Однако, можно использовать уже доказанную формулу куба суммы.

Представим разность $(a-b)$ как сумму $(a+(-b))$. Тогда куб разности можно записать так:

$(a-b)^3 = (a+(-b))^3$

Теперь воспользуемся формулой куба суммы из пункта 1, подставив вместо $b$ выражение $(-b)$:

$(a+(-b))^3 = a^3 + 3a^2(-b) + 3a(-b)^2 + (-b)^3$

Упростим полученное выражение, учитывая знаки:

$(-b)^2 = b^2$

$(-b)^3 = -b^3$

Подставим обратно в формулу:

$a^3 + 3a^2(-b) + 3a(b^2) + (-b^3) = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Таким образом, мы показали, что $(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$. Равенство доказано.

Ответ: Равенство $(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$ доказано.