Номер 5.29, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.29. Выразите выражение $4ab$ через $a+b$ и $a-b$.

Для того чтобы выразить выражение $4ab$ через $a+b$ и $a-b$, воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности.

Формула квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Формула квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Заметим, что если вычесть из квадрата суммы квадрат разности, то можно получить искомое выражение. Произведем это вычитание:

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2)$

Раскроем скобки в правой части равенства. При раскрытии второй скобки, перед которой стоит знак минус, все знаки внутри нее меняются на противоположные:

$a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

Теперь приведем подобные слагаемые. Члены $a^2$ и $-a^2$ взаимно уничтожаются, так же как и $b^2$ и $-b^2$:

$(a^2 - a^2) + (b^2 - b^2) + (2ab + 2ab) = 0 + 0 + 4ab = 4ab$

Таким образом, мы получили тождество, которое выражает $4ab$ через $a+b$ и $a-b$:

$4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$

Ответ: $4ab = (a+b)^2 - (a-b)^2$