Номер 5.33, страница 142 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.33. Разложите на множители:

1) $x^3+6x^2+11x+6$;

2) $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1$.

1) Чтобы разложить на множители многочлен $x^3+6x^2+11x+6$, воспользуемся методом группировки. Для этого представим некоторые слагаемые в виде суммы. Представим $6x^2$ как $x^2 + 5x^2$ и $11x$ как $5x + 6x$.

$x^3+6x^2+11x+6 = x^3 + x^2 + 5x^2 + 5x + 6x + 6$

Теперь сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(x^3 + x^2) + (5x^2 + 5x) + (6x + 6) = x^2(x+1) + 5x(x+1) + 6(x+1)$

Вынесем общий для всех слагаемых множитель $(x+1)$:

$(x+1)(x^2+5x+6)$

Осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2+5x+6$. Для разложения вида $(x+p)(x+q)$ нужно найти такие числа $p$ и $q$, чтобы их произведение $p \cdot q$ было равно 6, а их сумма $p+q$ была равна 5. Этими числами являются 2 и 3. Таким образом:

$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$

В итоге, полное разложение исходного многочлена выглядит так:

$(x+1)(x+2)(x+3)$

Ответ: $(x+1)(x+2)(x+3)$

2) Для разложения на множители многочлена $a^5+a^4+a^3+a^2+a+1$ применим метод группировки. Сгруппируем слагаемые попарно:

$(a^5+a^4) + (a^3+a^2) + (a+1)$

Вынесем из каждой группы общий множитель:

$a^4(a+1) + a^2(a+1) + 1(a+1)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+1)$ за скобки:

$(a+1)(a^4+a^2+1)$

Далее разложим на множители выражение $a^4+a^2+1$. Для этого воспользуемся методом выделения полного квадрата. Прибавим и вычтем $a^2$:

$a^4+a^2+1 = a^4+2a^2+1 - a^2 = (a^4+2a^2+1) - a^2$

Выражение в скобках является полным квадратом $(a^2+1)^2$. Получаем разность квадратов:

$(a^2+1)^2 - a^2$

Применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$, где $A=a^2+1$ и $B=a$:

$(a^2+1-a)(a^2+1+a)$

Запишем в стандартном виде: $(a^2-a+1)(a^2+a+1)$.

Таким образом, полное разложение исходного многочлена имеет вид:

$(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$

Ответ: $(a+1)(a^2-a+1)(a^2+a+1)$