Номер 5.22, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.22. Упростите выражение:

1) $(a+b)^2-(a-b)^2$;

2) $(m+4)^2-4(m+1)^2$;

3) $3(2-y)^2+4(y-5)^2$;

4) $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7)$;

5) $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1)$;

6) $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1)$.

1) Для упрощения выражения $(a+b)^2-(a-b)^2$ воспользуемся формулами квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ и квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. Раскроем скобки: $(a+b)^2-(a-b)^2 = (a^2+2ab+b^2) - (a^2-2ab+b^2)$. Теперь снимем вторые скобки, изменив знаки на противоположные: $a^2+2ab+b^2 - a^2+2ab-b^2$. Приведем подобные слагаемые: $(a^2-a^2) + (2ab+2ab) + (b^2-b^2) = 4ab$.

Ответ: $4ab$.

2) Упростим выражение $(m+4)^2-4(m+1)^2$. Сначала раскроем квадраты, используя формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$: $(m+4)^2 = m^2+2 \cdot m \cdot 4 + 4^2 = m^2+8m+16$ и $(m+1)^2 = m^2+2 \cdot m \cdot 1 + 1^2 = m^2+2m+1$. Подставим полученные выражения обратно в исходное: $(m^2+8m+16) - 4(m^2+2m+1)$. Раскроем вторые скобки, умножив каждый член на $-4$: $m^2+8m+16 - 4m^2-8m-4$. Приведем подобные слагаемые: $(m^2-4m^2) + (8m-8m) + (16-4) = -3m^2+12$.

Ответ: $-3m^2+12$.

3) Для упрощения выражения $3(2-y)^2+4(y-5)^2$ раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2-2xy+y^2$. $(2-y)^2 = 2^2-2 \cdot 2 \cdot y + y^2 = 4-4y+y^2$. $(y-5)^2 = y^2-2 \cdot y \cdot 5 + 5^2 = y^2-10y+25$. Подставим в исходное выражение и раскроем скобки, умножая на коэффициенты 3 и 4: $3(4-4y+y^2) + 4(y^2-10y+25) = (12-12y+3y^2) + (4y^2-40y+100)$. Приведем подобные слагаемые: $(3y^2+4y^2) + (-12y-40y) + (12+100) = 7y^2-52y+112$.

Ответ: $7y^2-52y+112$.

4) Упростим выражение $5(3-5x)^2-5(3x-7)(3x+7)$. Для первой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$, а для второй — формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$. $(3-5x)^2 = 3^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5x + (5x)^2 = 9 - 30x + 25x^2$. $(3x-7)(3x+7) = (3x)^2 - 7^2 = 9x^2 - 49$. Подставим эти выражения в исходное: $5(9-30x+25x^2) - 5(9x^2-49)$. Раскроем скобки, умножая на коэффициенты 5 и -5: $(45-150x+125x^2) - (45x^2-245) = 45-150x+125x^2 - 45x^2+245$. Приведем подобные слагаемые: $(125x^2-45x^2) - 150x + (45+245) = 80x^2-150x+290$.

Ответ: $80x^2-150x+290$.

5) Для упрощения выражения $(a+1)^2+3(a-1)^2-5(a-1)(a+1)$ используем формулы: квадрат суммы, квадрат разности и разность квадратов. $(a+1)^2 = a^2+2a+1$. $(a-1)^2 = a^2-2a+1$. $(a-1)(a+1) = a^2-1$. Подставим в исходное выражение: $(a^2+2a+1) + 3(a^2-2a+1) - 5(a^2-1)$. Раскроем скобки: $a^2+2a+1 + 3a^2-6a+3 - 5a^2+5$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(a^2+3a^2-5a^2) + (2a-6a) + (1+3+5) = -a^2-4a+9$.

Ответ: $-a^2-4a+9$.

6) Для упрощения выражения $(x-1)^2-4(x+1)^2-6(x+1)(x-1)$ используем формулы сокращенного умножения. $(x-1)^2 = x^2-2x+1$. $(x+1)^2 = x^2+2x+1$. $(x+1)(x-1) = x^2-1$. Подставим эти выражения в исходное: $(x^2-2x+1) - 4(x^2+2x+1) - 6(x^2-1)$. Раскроем скобки, умножая на соответствующие коэффициенты: $x^2-2x+1 - 4x^2-8x-4 - 6x^2+6$. Сгруппируем и приведем подобные слагаемые: $(x^2-4x^2-6x^2) + (-2x-8x) + (1-4+6) = -9x^2-10x+3$.

Ответ: $-9x^2-10x+3$.