Номер 5.16, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.16. С помощью рисунка 5.1 разъясните геометрический смысл формулы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ для положительных $\text{a}$ и $\text{b}$.

Рис. 5.1

На рисунке изображен большой квадрат, сторона которого состоит из двух отрезков длиной $a$ и $b$. Таким образом, длина стороны большого квадрата равна $a+b$. Его площадь $S$, вычисленная как квадрат стороны, равна $S = (a+b)^2$.

С другой стороны, этот большой квадрат разделен на четыре части, и его площадь можно найти как сумму площадей этих частей. Эти части: квадрат со стороной $a$ (его площадь $a^2$), квадрат со стороной $b$ (его площадь $b^2$) и два одинаковых прямоугольника со сторонами $a$ и $b$ (площадь каждого $ab$).

Сумма площадей этих четырех частей равна: $S = a^2 + b^2 + ab + ab = a^2 + 2ab + b^2$.

Поскольку оба выражения, $(a+b)^2$ и $a^2 + 2ab + b^2$, представляют площадь одной и той же фигуры, они должны быть равны. Это и есть геометрическая интерпретация формулы квадрата суммы. Условие, что $a$ и $b$ положительны, необходимо, так как они представляют длины сторон геометрических фигур.

Ответ: Геометрический смысл формулы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ заключается в том, что площадь квадрата со стороной $(a+b)$ равна сумме площадей его составных частей: квадрата со стороной $a$ (площадь $a^2$), квадрата со стороной $b$ (площадь $b^2$) и двух прямоугольников со сторонами $a$ и $b$ (общая площадь $2ab$).