Номер 5.14, страница 140 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.14. Представьте выражение в виде квадрата двучлена:

1) $25x^2+49y^2-70xy;$

2) $\frac{1}{4}a^2+3a+9;$

3) $\frac{25}{36}m^2-mn+\frac{9}{25}n^2;$

4) $\frac{1}{16}c^4+2c^2x+16x^2;$

5) $0,01a^4+b^2-0,2a^2b;$

6) $b^8-a^2b^4+\frac{1}{4}a^4.$

1) Для того чтобы представить выражение $25x^2+49y^2-70xy$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Сначала переставим слагаемые в исходном выражении для удобства: $25x^2 - 70xy + 49y^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $a^2$ и $b^2$.

Первый член $25x^2$ является квадратом выражения $5x$, то есть $a^2 = (5x)^2$, откуда $a = 5x$.

Третий член $49y^2$ является квадратом выражения $7y$, то есть $b^2 = (7y)^2$, откуда $b = 7y$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-70xy$ удвоенному произведению $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot (5x) \cdot (7y) = -10x \cdot 7y = -70xy$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат разности $5x$ и $7y$.

Таким образом, $25x^2 - 70xy + 49y^2 = (5x-7y)^2$.

Ответ: $(5x-7y)^2$

2) Для того чтобы представить выражение $\frac{1}{4}a^2+3a+9$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $x^2$ и $y^2$.

Первый член $\frac{1}{4}a^2$ является квадратом выражения $\frac{1}{2}a$, то есть $x^2 = (\frac{1}{2}a)^2$, откуда $x = \frac{1}{2}a$.

Третий член $9$ является квадратом числа $3$, то есть $y^2 = 3^2$, откуда $y = 3$.

Теперь проверим, равен ли средний член $3a$ удвоенному произведению $2xy$.

$2xy = 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot 3 = 1a \cdot 3 = 3a$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат суммы $\frac{1}{2}a$ и $3$.

Таким образом, $\frac{1}{4}a^2+3a+9 = (\frac{1}{2}a+3)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{2}a+3)^2$

3) Для того чтобы представить выражение $\frac{25}{36}m^2-mn+\frac{9}{25}n^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $a^2$ и $b^2$.

Первый член $\frac{25}{36}m^2$ является квадратом выражения $\frac{5}{6}m$, то есть $a^2 = (\frac{5}{6}m)^2$, откуда $a = \frac{5}{6}m$.

Третий член $\frac{9}{25}n^2$ является квадратом выражения $\frac{3}{5}n$, то есть $b^2 = (\frac{3}{5}n)^2$, откуда $b = \frac{3}{5}n$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-mn$ удвоенному произведению $-2ab$.

$-2ab = -2 \cdot (\frac{5}{6}m) \cdot (\frac{3}{5}n) = -2 \cdot \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 5}mn = -2 \cdot \frac{15}{30}mn = -2 \cdot \frac{1}{2}mn = -mn$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат разности $\frac{5}{6}m$ и $\frac{3}{5}n$.

Таким образом, $\frac{25}{36}m^2-mn+\frac{9}{25}n^2 = (\frac{5}{6}m-\frac{3}{5}n)^2$.

Ответ: $(\frac{5}{6}m-\frac{3}{5}n)^2$

4) Для того чтобы представить выражение $\frac{1}{16}c^4+2c^2x+16x^2$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $a^2$ и $b^2$.

Первый член $\frac{1}{16}c^4$ является квадратом выражения $\frac{1}{4}c^2$, то есть $a^2 = (\frac{1}{4}c^2)^2$, откуда $a = \frac{1}{4}c^2$.

Третий член $16x^2$ является квадратом выражения $4x$, то есть $b^2 = (4x)^2$, откуда $b = 4x$.

Теперь проверим, равен ли средний член $2c^2x$ удвоенному произведению $2ab$.

$2ab = 2 \cdot (\frac{1}{4}c^2) \cdot (4x) = 2 \cdot \frac{4}{4}c^2x = 2c^2x$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат суммы $\frac{1}{4}c^2$ и $4x$.

Таким образом, $\frac{1}{16}c^4+2c^2x+16x^2 = (\frac{1}{4}c^2+4x)^2$.

Ответ: $(\frac{1}{4}c^2+4x)^2$

5) Для того чтобы представить выражение $0,01a^4+b^2-0,2a^2b$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Сначала переставим слагаемые в исходном выражении для удобства: $0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $x^2$ и $y^2$.

Первый член $0,01a^4$ является квадратом выражения $0,1a^2$, то есть $x^2 = (0,1a^2)^2$, откуда $x = 0,1a^2$.

Третий член $b^2$ является квадратом выражения $b$, то есть $y^2 = b^2$, откуда $y = b$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-0,2a^2b$ удвоенному произведению $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot (0,1a^2) \cdot b = -0,2a^2b$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат разности $0,1a^2$ и $b$.

Таким образом, $0,01a^4 - 0,2a^2b + b^2 = (0,1a^2-b)^2$.

Ответ: $(0,1a^2-b)^2$

6) Для того чтобы представить выражение $b^8-a^2b^4+\frac{1}{4}a^4$ в виде квадрата двучлена, воспользуемся формулой квадрата разности: $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Определим, какие выражения соответствуют $x^2$ и $y^2$.

Первый член $b^8$ является квадратом выражения $b^4$, так как $(b^4)^2 = b^{4 \cdot 2} = b^8$. Значит, $x^2 = (b^4)^2$, откуда $x = b^4$.

Третий член $\frac{1}{4}a^4$ является квадратом выражения $\frac{1}{2}a^2$, то есть $y^2 = (\frac{1}{2}a^2)^2$, откуда $y = \frac{1}{2}a^2$.

Теперь проверим, равен ли средний член $-a^2b^4$ удвоенному произведению $-2xy$.

$-2xy = -2 \cdot (b^4) \cdot (\frac{1}{2}a^2) = - (2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot a^2b^4 = -1 \cdot a^2b^4 = -a^2b^4$.

Так как средний член совпадает, исходное выражение можно представить как квадрат разности $b^4$ и $\frac{1}{2}a^2$.

Таким образом, $b^8-a^2b^4+\frac{1}{4}a^4 = (b^4-\frac{1}{2}a^2)^2$.

Ответ: $(b^4-\frac{1}{2}a^2)^2$