Номер 5.20, страница 141 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.20. Решите уравнение:

1) $4x^2-(2x-1)^2=15;$

2) $9x^2-1=(3x-2)^2;$

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2;$

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0.$

1) $4x^2-(2x-1)^2=15$

Левая часть уравнения представляет собой разность квадратов, так как $4x^2$ можно записать как $(2x)^2$.

$(2x)^2-(2x-1)^2=15$

Применим формулу разности квадратов $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=2x$ и $b=2x-1$.

$(2x-(2x-1))(2x+(2x-1))=15$

Раскроем внутренние скобки в каждом множителе.

$(2x-2x+1)(2x+2x-1)=15$

Упростим выражения в скобках.

$1 \cdot (4x-1)=15$

$4x-1=15$

Перенесем $-1$ в правую часть, изменив знак на противоположный.

$4x=15+1$

$4x=16$

Разделим обе части уравнения на 4, чтобы найти $x$.

$x = \frac{16}{4}$

$x=4$

Ответ: $4$.

2) $9x^2-1=(3x-2)^2$

Раскроем квадрат разности в правой части по формуле $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$9x^2-1=(3x)^2-2 \cdot 3x \cdot 2+2^2$

$9x^2-1=9x^2-12x+4$

Перенесем все слагаемые с переменной в левую часть, а постоянные — в правую. Вычтем $9x^2$ из обеих частей.

$9x^2-9x^2-1 = -12x+4$

$-1=-12x+4$

Перенесем $-12x$ влево, а $-1$ вправо, изменив их знаки.

$12x=4+1$

$12x=5$

Найдем $x$.

$x=\frac{5}{12}$

Ответ: $\frac{5}{12}$.

3) $(3x+1)^2-(3x-1)^2=11x+1,2$

Левая часть уравнения является разностью квадратов. Применим формулу $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, где $a=3x+1$ и $b=3x-1$.

$((3x+1)-(3x-1))((3x+1)+(3x-1))=11x+1,2$

Упростим выражения в скобках.

$(3x+1-3x+1)(3x+1+3x-1)=11x+1,2$

$2 \cdot (6x) = 11x+1,2$

$12x=11x+1,2$

Перенесем $11x$ из правой части в левую.

$12x-11x=1,2$

$x=1,2$

Ответ: $1,2$.

4) $(5+2y)(y-3)-2(y-1)^2=0$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Сначала перемножим двучлены $(5+2y)$ и $(y-3)$.

$5y-15+2y^2-6y = 2y^2-y-15$

Теперь раскроем квадрат разности во втором слагаемом, используя формулу $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.

$-2(y-1)^2 = -2(y^2-2y+1) = -2y^2+4y-2$

Подставим полученные выражения в исходное уравнение.

$(2y^2-y-15)+(-2y^2+4y-2)=0$

$2y^2-y-15-2y^2+4y-2=0$

Приведем подобные слагаемые.

$(2y^2-2y^2)+(-y+4y)+(-15-2)=0$

$3y-17=0$

Решим полученное линейное уравнение.

$3y=17$

$y=\frac{17}{3}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$y=5\frac{2}{3}$

Ответ: $5\frac{2}{3}$.