Номер 5.42, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.42. Вычислите:

1) $ (30+1)(30-1) $;

2) $ 61 \cdot 59 $;

3) $ 199 \cdot 201 $;

4) $ 72 \cdot 68 $;

5) $ 55^2 - 45^2 $;

6) $ 41^2 - 31^2 $;

7) $ 76^2 - 24^2 $;

8) $ 37^2 - 23^2 $.

1) Данное выражение представляет собой произведение суммы и разности двух чисел. Для его вычисления применим формулу сокращенного умножения "разность квадратов": $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В нашем случае $a=30$ и $b=1$.

$(30+1)(30-1) = 30^2 - 1^2 = 900 - 1 = 899$.

Ответ: 899

2) Чтобы упростить вычисление произведения $61 \cdot 59$, представим множители через их среднее арифметическое, которое равно $\frac{61+59}{2} = 60$.

Тогда $61 = 60+1$ и $59 = 60-1$. Произведение принимает вид $(60+1)(60-1)$.

Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=60$ и $b=1$.

$61 \cdot 59 = (60+1)(60-1) = 60^2 - 1^2 = 3600 - 1 = 3599$.

Ответ: 3599

3) Представим множители 199 и 201 через число 200: $199 = 200-1$ и $201 = 200+1$.

Произведение $199 \cdot 201$ можно записать как $(200-1)(200+1)$.

Используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a=200$ и $b=1$.

$199 \cdot 201 = (200-1)(200+1) = 200^2 - 1^2 = 40000 - 1 = 39999$.

Ответ: 39999

4) Представим множители 72 и 68 через их среднее арифметическое: $\frac{72+68}{2} = 70$.

Тогда $72 = 70+2$ и $68 = 70-2$. Произведение принимает вид $(70+2)(70-2)$.

По формуле разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=70$ и $b=2$:

$72 \cdot 68 = (70+2)(70-2) = 70^2 - 2^2 = 4900 - 4 = 4896$.

Ответ: 4896

5) Данное выражение является разностью квадратов. Применим формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a=55$ и $b=45$.

$55^2 - 45^2 = (55-45)(55+45) = 10 \cdot 100 = 1000$.

Ответ: 1000

6) Используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для выражения $41^2 - 31^2$.

Здесь $a=41$ и $b=31$.

$41^2 - 31^2 = (41-31)(41+31) = 10 \cdot 72 = 720$.

Ответ: 720

7) Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к выражению $76^2 - 24^2$.

Здесь $a=76$ и $b=24$.

$76^2 - 24^2 = (76-24)(76+24) = 52 \cdot 100 = 5200$.

Ответ: 5200

8) Вычислим $37^2 - 23^2$ с помощью формулы разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Здесь $a=37$ и $b=23$.

$37^2 - 23^2 = (37-23)(37+23) = 14 \cdot 60 = 840$.

Ответ: 840