Номер 5.47, страница 145 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.47. С помощью рисунка 5.3 разъясните геометрический смысл формулы $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ для положительных $\text{a}$ и $\text{b}$ $(a>b)$.

Рис. 5.3

Формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ имеет наглядный геометрический смысл, который можно продемонстрировать с помощью площадей фигур.

1. Геометрическое представление $a^2 - b^2$

Выражение $a^2 - b^2$ можно представить как площадь большого квадрата со стороной $a$, из которого вырезали меньший квадрат со стороной $b$. Предполагается, что $a > b > 0$.

Начнем с квадрата со стороной $a$. Его площадь равна $S_a = a^2$.

Теперь из одного угла этого квадрата вырежем квадрат со стороной $b$. Его площадь равна $S_b = b^2$.

Площадь оставшейся Г-образной фигуры (закрашена серым) равна разности площадей исходного и вырезанного квадратов, то есть $a^2 - b^2$.

2. Геометрическое представление $(a-b)(a+b)$

Теперь преобразуем полученную Г-образную фигуру. Мысленно разрежем ее на два прямоугольника. Например, сделаем вертикальный разрез, как показано на рисунке ниже.

В результате мы получили два прямоугольника:

• Прямоугольник 1 (темно-серый) со сторонами $a-b$ и $a$.
• Прямоугольник 2 (светло-серый) со сторонами $b$ и $a-b$.

Теперь переместим Прямоугольник 2 и приставим его к Прямоугольнику 1 так, чтобы их стороны длиной $a-b$ совпали.

В результате получился один большой прямоугольник. Его размеры:

• Ширина: $a-b$.
• Высота: $a+b$.

3. Вывод

Мы начали с Г-образной фигуры площадью $a^2 - b^2$. Затем, путем перестановки ее частей, не изменяя общую площадь, мы получили прямоугольник с площадью $(a-b)(a+b)$. Поскольку площадь фигуры при перестановке ее частей не меняется, мы можем утверждать, что эти две величины равны.

Рисунок 5.3 в задаче является несколько запутанной, но все же иллюстрацией этого процесса. На нем можно увидеть исходную Г-образную фигуру (состоящую из белых и закрашенных частей), которую можно мысленно "разрезать" и "собрать" в один большой прямоугольник со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$.

Ответ: Геометрический смысл формулы $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ заключается в том, что площадь Г-образной фигуры, полученной вырезанием квадрата со стороной $b$ из квадрата со стороной $a$, равна площади прямоугольника со сторонами $(a-b)$ и $(a+b)$. Это доказывается тем, что Г-образную фигуру можно разрезать и сложить в указанный прямоугольник без изменения общей площади.