Номер 5.52, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.52. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(2a+5)^2-49$;

2) $(5x-2y)^2-9y^2$;

3) $p^2-(3p+1)^2$;

4) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$;

5) $(x+y)^2-(x-y)^2$;

6) $(4p-q)^2-(2p+3q)^2$.

1) Для разложения выражения $(2a+5)^2-49$ на множители используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. В данном случае $A = 2a+5$ и $B^2 = 49$, следовательно $B = 7$.

$(2a+5)^2 - 7^2 = ((2a+5) - 7)((2a+5) + 7) = (2a + 5 - 7)(2a + 5 + 7) = (2a - 2)(2a + 12)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2(a - 1) \cdot 2(a + 6) = 4(a - 1)(a + 6)$.

Ответ: $4(a - 1)(a + 6)$.

2) Представим выражение $(5x-2y)^2-9y^2$ в виде разности квадратов. Здесь $A = 5x-2y$ и $B^2 = 9y^2 = (3y)^2$, значит $B = 3y$.

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$(5x-2y)^2 - (3y)^2 = ((5x-2y) - 3y)((5x-2y) + 3y) = (5x - 2y - 3y)(5x - 2y + 3y) = (5x - 5y)(5x + y)$.

Вынесем общий множитель 5 из первой скобки: $5(x - y)(5x + y)$.

Ответ: $5(x - y)(5x + y)$.

3) В выражении $p^2-(3p+1)^2$ имеем разность квадратов, где $A = p$ и $B = 3p+1$.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$:

$p^2 - (3p+1)^2 = (p - (3p+1))(p + (3p+1)) = (p - 3p - 1)(p + 3p + 1) = (-2p - 1)(4p + 1)$.

Для удобства можно вынести знак минус из первой скобки: $-(2p + 1)(4p + 1)$.

Ответ: $-(2p + 1)(4p + 1)$.

4) Для выражения $(2a+b)^2-(a-2b)^2$ применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$, где $A = 2a+b$ и $B = a-2b$.

$( (2a+b) - (a-2b) )( (2a+b) + (a-2b) ) = (2a+b - a + 2b)(2a+b + a - 2b)$.

Упростим выражения в скобках: $(a + 3b)(3a - b)$.

Ответ: $(a + 3b)(3a - b)$.

5) Выражение $(x+y)^2-(x-y)^2$ является разностью квадратов, где $A = x+y$ и $B = x-y$.

По формуле $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$ получаем:

$( (x+y) - (x-y) )( (x+y) + (x-y) ) = (x+y - x + y)(x+y + x - y)$.

Упрощаем каждую скобку: $(2y)(2x) = 4xy$.

Ответ: $4xy$.

6) В выражении $(4p-q)^2-(2p+3q)^2$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$. Здесь $A = 4p-q$ и $B = 2p+3q$.

$( (4p-q) - (2p+3q) )( (4p-q) + (2p+3q) ) = (4p-q - 2p - 3q)(4p-q + 2p + 3q)$.

Упростим выражения в скобках: $(2p - 4q)(6p + 2q)$.

Вынесем общие множители из каждой скобки: $2(p - 2q) \cdot 2(3p + q) = 4(p - 2q)(3p + q)$.

Ответ: $4(p - 2q)(3p + q)$.