Номер 5.54, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.54. Разложите на множители:

1) $81y^2-a^8$;

2) $16x^2y^4-81z^2$;

3) $25m^2-49n^2$;

4) $0,49p^4-m^2q^6$;

5) $1-64a^8$;

6) $a^4-a^8$;

7) $\frac{m^4 n^6}{9} - \frac{p^4}{16}$;

8) $\frac{4a^2 x^4}{25} - \frac{9y^4}{16}$.

1) Для разложения на множители выражения $81y^2-a^8$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$81y^2 = (9y)^2$

$a^8 = (a^4)^2$

Таким образом, в нашем случае $A = 9y$ и $B = a^4$.

Подставляем в формулу:

$81y^2 - a^8 = (9y)^2 - (a^4)^2 = (9y - a^4)(9y + a^4)$.

Ответ: $(9y - a^4)(9y + a^4)$.

2) Для разложения на множители выражения $16x^2y^4 - 81z^2$ используем формулу разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$16x^2y^4 = (4xy^2)^2$

$81z^2 = (9z)^2$

Здесь $A = 4xy^2$ и $B = 9z$.

Подставляем в формулу:

$16x^2y^4 - 81z^2 = (4xy^2)^2 - (9z)^2 = (4xy^2 - 9z)(4xy^2 + 9z)$.

Ответ: $(4xy^2 - 9z)(4xy^2 + 9z)$.

3) Для разложения выражения $25m^2 - 49n^2$ применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим слагаемые как квадраты:

$25m^2 = (5m)^2$

$49n^2 = (7n)^2$

Следовательно, $A = 5m$ и $B = 7n$.

Применяем формулу:

$25m^2 - 49n^2 = (5m)^2 - (7n)^2 = (5m - 7n)(5m + 7n)$.

Ответ: $(5m - 7n)(5m + 7n)$.

4) Чтобы разложить на множители $0,49p^4 - m^2q^6$, воспользуемся формулой разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим слагаемые в виде квадратов:

$0,49p^4 = (0,7p^2)^2$

$m^2q^6 = (mq^3)^2$

В данном случае $A = 0,7p^2$ и $B = mq^3$.

Подставляем в формулу:

$0,49p^4 - m^2q^6 = (0,7p^2)^2 - (mq^3)^2 = (0,7p^2 - mq^3)(0,7p^2 + mq^3)$.

Ответ: $(0,7p^2 - mq^3)(0,7p^2 + mq^3)$.

5) Раскладываем выражение $1 - 64a^8$ по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое в виде квадрата:

$1 = 1^2$

$64a^8 = (8a^4)^2$

Тогда $A = 1$ и $B = 8a^4$.

Применяем формулу:

$1 - 64a^8 = 1^2 - (8a^4)^2 = (1 - 8a^4)(1 + 8a^4)$.

Ответ: $(1 - 8a^4)(1 + 8a^4)$.

6) Для разложения на множители выражения $a^4 - a^8$ сначала вынесем общий множитель за скобки. Общим множителем является $a^4$.

$a^4 - a^8 = a^4(1 - a^4)$.

Теперь выражение в скобках $1 - a^4$ можно разложить по формуле разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

$1 - a^4 = 1^2 - (a^2)^2 = (1 - a^2)(1 + a^2)$.

Заметим, что множитель $(1 - a^2)$ также является разностью квадратов:

$1 - a^2 = 1^2 - a^2 = (1 - a)(1 + a)$.

Собираем все вместе для получения окончательного разложения:

$a^4 - a^8 = a^4(1 - a^4) = a^4(1 - a^2)(1 + a^2) = a^4(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)$.

Ответ: $a^4(1 - a)(1 + a)(1 + a^2)$.

7) Для разложения выражения $\frac{m^4 n^6}{9} - \frac{p^4}{16}$ используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим каждое слагаемое как квадрат:

$\frac{m^4 n^6}{9} = \left(\frac{m^2 n^3}{3}\right)^2$

$\frac{p^4}{16} = \left(\frac{p^2}{4}\right)^2$

Следовательно, $A = \frac{m^2 n^3}{3}$ и $B = \frac{p^2}{4}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{m^4 n^6}{9} - \frac{p^4}{16} = \left(\frac{m^2 n^3}{3} - \frac{p^2}{4}\right)\left(\frac{m^2 n^3}{3} + \frac{p^2}{4}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{m^2 n^3}{3} - \frac{p^2}{4}\right)\left(\frac{m^2 n^3}{3} + \frac{p^2}{4}\right)$.

8) Чтобы разложить на множители $\frac{4a^2x^4}{25} - \frac{9y^4}{16}$, применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.

Представим слагаемые в виде квадратов:

$\frac{4a^2x^4}{25} = \left(\frac{2ax^2}{5}\right)^2$

$\frac{9y^4}{16} = \left(\frac{3y^2}{4}\right)^2$

В этом случае $A = \frac{2ax^2}{5}$ и $B = \frac{3y^2}{4}$.

Применяем формулу:

$\frac{4a^2x^4}{25} - \frac{9y^4}{16} = \left(\frac{2ax^2}{5} - \frac{3y^2}{4}\right)\left(\frac{2ax^2}{5} + \frac{3y^2}{4}\right)$.

Ответ: $\left(\frac{2ax^2}{5} - \frac{3y^2}{4}\right)\left(\frac{2ax^2}{5} + \frac{3y^2}{4}\right)$.