Номер 5.60, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.60. Докажите, что разность квадратов двух последовательных натуральных чисел есть число нечетное.

5.60. Пусть даны два последовательных натуральных числа. Обозначим меньшее из них как $n$, тогда следующее за ним (большее) будет $n+1$. По условию, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$ (где $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$).

Нам необходимо доказать, что разность их квадратов является нечетным числом. Запишем это выражение: $(n+1)^2 - n^2$.

Для доказательства удобнее всего воспользоваться формулой сокращенного умножения для разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

В нашем случае $a = n+1$ и $b = n$. Подставим эти значения в формулу:

$(n+1)^2 - n^2 = ((n+1) - n) \cdot ((n+1) + n)$

Теперь упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(n+1) - n = n - n + 1 = 1$.

Вторая скобка: $(n+1) + n = 2n + 1$.

Перемножив полученные результаты, мы находим значение исходного выражения:

$1 \cdot (2n + 1) = 2n + 1$.

По определению, нечетное число — это целое число, которое может быть представлено в виде $2k+1$, где $k$ — некоторое целое число. Поскольку $n$ по условию является натуральным числом (а значит, и целым), то полученное нами выражение $2n+1$ в точности соответствует формуле нечетного числа.

Таким образом, разность квадратов двух последовательных натуральных чисел всегда равна нечетному числу. Например:

• Для чисел 4 и 5: $5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9$, что является нечетным числом. По нашей формуле: $2 \cdot 4 + 1 = 9$.
• Для чисел 10 и 11: $11^2 - 10^2 = 121 - 100 = 21$, что также нечетное. По нашей формуле: $2 \cdot 10 + 1 = 21$.

Утверждение доказано.

Ответ: Разность квадратов двух последовательных натуральных чисел $n$ и $n+1$ всегда равна $(n+1)^2 - n^2 = 2n+1$. Так как для любого натурального числа $n$ выражение $2n+1$ задает нечетное число, то утверждение доказано.