Номер 5.62, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.62. Докажите, что при любом натуральном $\text{n}$ значение выражения $(2n+11)^2-4n^2$ кратно 11.

Чтобы доказать, что значение выражения $(2n+11)^2 - 4n^2$ кратно 11 при любом натуральном $n$, преобразуем его.

Данное выражение можно представить как разность квадратов. Заметим, что $4n^2 = (2n)^2$. Тогда выражение принимает вид:

$(2n+11)^2 - (2n)^2$

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, где $a = 2n+11$ и $b = 2n$:

$((2n+11) - 2n) \cdot ((2n+11) + 2n)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$2n+11 - 2n = 11$

$2n+11 + 2n = 4n+11$

В результате преобразования получаем произведение:

$11 \cdot (4n+11)$

Поскольку $n$ является натуральным числом, то выражение в скобках $(4n+11)$ также является целым числом. Полученное произведение $11 \cdot (4n+11)$ содержит множитель 11, а значит, оно делится на 11 без остатка при любом натуральном $n$.

Таким образом, доказано, что значение выражения $(2n+11)^2 - 4n^2$ кратно 11.

Ответ: Доказано.