Номер 5.67, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.67. Решите уравнение:

1) $x^3-6x^2=6-x;$

2) $y^3+3y^2-4y-12=0;$

3) $2x^3-x^2-18x+9=0;$

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0;$

5) $2x^3-x^2-32x+16=0;$

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79.$

1) $x^3-6x^2=6-x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить уравнение, равное нулю: $x^3-6x^2+x-6=0$. Сгруппируем слагаемые методом группировки: $(x^3-6x^2)+(x-6)=0$. Вынесем общие множители из каждой группы: $x^2(x-6)+1(x-6)=0$. Теперь вынесем общий множитель $(x-6)$ за скобки: $(x-6)(x^2+1)=0$. Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая: Первый случай: $x-6=0$, откуда $x=6$. Второй случай: $x^2+1=0$, откуда $x^2=-1$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, уравнение имеет единственный действительный корень.

Ответ: $6$.

2) $y^3+3y^2-4y-12=0$

Сгруппируем слагаемые: $(y^3+3y^2)-(4y+12)=0$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $y^2(y+3)-4(y+3)=0$. Вынесем общий множитель $(y+3)$ за скобки: $(y+3)(y^2-4)=0$. Выражение $y^2-4$ является разностью квадратов и раскладывается на множители: $y^2-4=(y-2)(y+2)$. Уравнение принимает вид: $(y+3)(y-2)(y+2)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. $y+3=0 \implies y_1=-3$. $y-2=0 \implies y_2=2$. $y+2=0 \implies y_3=-2$.

Ответ: $-3; -2; 2$.

3) $2x^3-x^2-18x+9=0$

Сгруппируем слагаемые: $(2x^3-x^2)-(18x-9)=0$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x^2(2x-1)-9(2x-1)=0$. Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки: $(2x-1)(x^2-9)=0$. Выражение $x^2-9$ является разностью квадратов: $x^2-9=(x-3)(x+3)$. Уравнение принимает вид: $(2x-1)(x-3)(x+3)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=0,5$. $x-3=0 \implies x_2=3$. $x+3=0 \implies x_3=-3$.

Ответ: $-3; 0,5; 3$.

4) $4y^3-3y^2-4y+3=0$

Сгруппируем слагаемые: $(4y^3-3y^2)-(4y-3)=0$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $y^2(4y-3)-1(4y-3)=0$. Вынесем общий множитель $(4y-3)$ за скобки: $(4y-3)(y^2-1)=0$. Выражение $y^2-1$ является разностью квадратов: $y^2-1=(y-1)(y+1)$. Уравнение принимает вид: $(4y-3)(y-1)(y+1)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. $4y-3=0 \implies 4y=3 \implies y_1=\frac{3}{4}=0,75$. $y-1=0 \implies y_2=1$. $y+1=0 \implies y_3=-1$.

Ответ: $-1; 0,75; 1$.

5) $2x^3-x^2-32x+16=0$

Сгруппируем слагаемые: $(2x^3-x^2)-(32x-16)=0$. Вынесем общий множитель из каждой группы: $x^2(2x-1)-16(2x-1)=0$. Вынесем общий множитель $(2x-1)$ за скобки: $(2x-1)(x^2-16)=0$. Выражение $x^2-16$ является разностью квадратов: $x^2-16=(x-4)(x+4)$. Уравнение принимает вид: $(2x-1)(x-4)(x+4)=0$. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. $2x-1=0 \implies 2x=1 \implies x_1=0,5$. $x-4=0 \implies x_2=4$. $x+4=0 \implies x_3=-4$.

Ответ: $-4; 0,5; 4$.

6) $(y+6)^2-(y+5)(y-5)=79$

Раскроем скобки в левой части уравнения. Для этого используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и формулу разности квадратов $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$. $(y^2+2 \cdot y \cdot 6+6^2) - (y^2-5^2) = 79$. $(y^2+12y+36) - (y^2-25) = 79$. Раскроем вторые скобки, изменив знаки слагаемых внутри них на противоположные: $y^2+12y+36-y^2+25 = 79$. Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения: $(y^2-y^2)+12y+(36+25) = 79$. $12y+61 = 79$. Перенесем число 61 в правую часть уравнения с противоположным знаком: $12y = 79-61$. $12y = 18$. Чтобы найти $y$, разделим обе части уравнения на 12: $y = \frac{18}{12}$. Сократим полученную дробь на 6: $y = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.