Номер 5.73, страница 148 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.73. Разложите на множители:

1) $12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x;$

2) $2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b.$

1) Для разложения на множители выражения $12a^3x - 36a^2bx + 27ab^2x$, первым шагом вынесем общий множитель за скобки.

Находим наибольший общий делитель (НОД) для числовых коэффициентов 12, 36 и 27.

$12 = 3 \cdot 4$

$36 = 3 \cdot 12$

$27 = 3 \cdot 9$

НОД(12, 36, 27) = 3.

Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $a$ это $a^1$, для переменной $x$ это $x^1$. Переменная $b$ не является общей для всех членов.

Таким образом, общий множитель всего выражения равен $3ax$.

Выносим $3ax$ за скобки:

$3ax(\frac{12a^3x}{3ax} - \frac{36a^2bx}{3ax} + \frac{27ab^2x}{3ax}) = 3ax(4a^2 - 12ab + 9b^2)$.

Теперь рассмотрим выражение в скобках: $4a^2 - 12ab + 9b^2$. Это выражение представляет собой полный квадрат разности, который можно разложить по формуле $(p - q)^2 = p^2 - 2pq + q^2$.

В нашем случае $p^2 = 4a^2 = (2a)^2$, значит $p = 2a$.

$q^2 = 9b^2 = (3b)^2$, значит $q = 3b$.

Проверим средний член: $-2pq = -2 \cdot 2a \cdot 3b = -12ab$. Это совпадает со средним членом выражения в скобках.

Следовательно, $4a^2 - 12ab + 9b^2 = (2a - 3b)^2$.

Подставив результат в наше выражение, получаем окончательное разложение на множители.

Ответ: $3ax(2a - 3b)^2$

2) Для разложения на множители выражения $2a^2b^3 - 28ab^2 + 98b$, начнем с вынесения общего множителя.

Находим НОД для коэффициентов 2, 28 и 98.

$2 = 2 \cdot 1$

$28 = 2 \cdot 14$

$98 = 2 \cdot 49$

НОД(2, 28, 98) = 2.

Находим общие переменные в наименьшей степени. Для переменной $b$ это $b^1$. Переменная $a$ не является общей для всех членов.

Общий множитель равен $2b$.

Выносим $2b$ за скобки:

$2b(\frac{2a^2b^3}{2b} - \frac{28ab^2}{2b} + \frac{98b}{2b}) = 2b(a^2b^2 - 14ab + 49)$.

Рассмотрим выражение в скобках: $a^2b^2 - 14ab + 49$. Это выражение является полным квадратом разности вида $p^2 - 2pq + q^2 = (p - q)^2$.

В данном случае $p^2 = a^2b^2 = (ab)^2$, значит $p = ab$.

$q^2 = 49 = 7^2$, значит $q = 7$.

Проверим средний член: $-2pq = -2 \cdot ab \cdot 7 = -14ab$. Он совпадает со средним членом выражения.

Таким образом, $a^2b^2 - 14ab + 49 = (ab - 7)^2$.

Подставляем полученное разложение обратно и получаем итоговый результат.

Ответ: $2b(ab - 7)^2$