Номер 5.77, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.77. Запишите выражение в виде произведения:

1) $-a^3+b^3$;

2) $-a^6+\frac{1}{8}$;

3) $x^6+27$;

4) $-64-y^3$;

5) $-\frac{b^3}{27}-1$;

6) $m^6+n^6$.

1) Чтобы записать выражение $-a^3+b^3$ в виде произведения, представим его в виде разности кубов $b^3-a^3$. Применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$. В нашем случае $x=b$ и $y=a$, поэтому:

$b^3-a^3=(b-a)(b^2+ba+a^2) = (b-a)(a^2+ab+b^2)$.

Ответ: $(b-a)(a^2+ab+b^2)$.

2) Перепишем выражение $-a^6+\frac{1}{8}$ как $\frac{1}{8}-a^6$. Это разность кубов, так как $\frac{1}{8} = (\frac{1}{2})^3$ и $a^6 = (a^2)^3$. Выражение принимает вид $(\frac{1}{2})^3 - (a^2)^3$.

Используем формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$, где $x=\frac{1}{2}$ и $y=a^2$:

$(\frac{1}{2}-a^2)\left((\frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}a^2 + (a^2)^2\right) = (\frac{1}{2}-a^2)(\frac{1}{4}+\frac{1}{2}a^2+a^4)$.

Ответ: $(\frac{1}{2}-a^2)(a^4+\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{4})$.

3) Выражение $x^6+27$ представим в виде суммы кубов. Так как $x^6 = (x^2)^3$ и $27 = 3^3$, получаем $(x^2)^3 + 3^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=x^2$ и $y=3$:

$(x^2+3)((x^2)^2 - x^2 \cdot 3 + 3^2) = (x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.

Ответ: $(x^2+3)(x^4-3x^2+9)$.

4) В выражении $-64-y^3$ вынесем минус за скобки: $-(64+y^3)$. Выражение в скобках является суммой кубов, так как $64=4^3$.

Применим формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=4$ и $y=y$:

$64+y^3 = (4+y)(4^2-4y+y^2) = (4+y)(16-4y+y^2)$.

Следовательно, исходное выражение равно $-(4+y)(16-4y+y^2)$.

Ответ: $-(y+4)(y^2-4y+16)$.

5) В выражении $-\frac{b^3}{27}-1$ вынесем минус за скобки: $-(\frac{b^3}{27}+1)$. Выражение в скобках является суммой кубов, так как $\frac{b^3}{27} = (\frac{b}{3})^3$ и $1=1^3$.

Применим формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=\frac{b}{3}$ и $y=1$:

$(\frac{b}{3}+1)\left((\frac{b}{3})^2-\frac{b}{3}\cdot 1+1^2\right) = (\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.

Следовательно, исходное выражение равно $-(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.

Ответ: $-(\frac{b}{3}+1)(\frac{b^2}{9}-\frac{b}{3}+1)$.

6) Выражение $m^6+n^6$ можно представить как сумму кубов, заметив, что $m^6 = (m^2)^3$ и $n^6 = (n^2)^3$. Получаем $(m^2)^3+(n^2)^3$.

Применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=m^2$ и $y=n^2$:

$(m^2+n^2)((m^2)^2-m^2n^2+(n^2)^2) = (m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.

Ответ: $(m^2+n^2)(m^4-m^2n^2+n^4)$.