Вопросы, страница 149 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

5. Докажите формулы (5) и (6).

6. Что такое неполный квадрат разности (суммы)?

1. Напишите формулу суммы кубов двух выражений.

Формула суммы кубов для двух произвольных выражений $a$ и $b$ записывается следующим образом: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Ответ: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

2. Сформулируйте правило разложения на множители суммы кубов двух выражений.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Ответ: Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

3. Напишите формулу разности кубов двух выражений.

Формула разности кубов для двух произвольных выражений $a$ и $b$ записывается следующим образом: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Ответ: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

4. Сформулируйте правило разложения на множители разности кубов двух выражений.

Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

Ответ: Разность кубов двух выражений равна произведению разности этих выражений на неполный квадрат их суммы.

5. Докажите формулы (5) и (6).

Поскольку в задании не указаны сами формулы (5) и (6), будем считать, что это формулы суммы и разности кубов из предыдущих пунктов.

Доказательство формулы суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

Для доказательства тождества умножим многочлен $(a+b)$ на многочлен $(a^2 - ab + b^2)$:

$(a+b)(a^2 - ab + b^2) = a \cdot (a^2 - ab + b^2) + b \cdot (a^2 - ab + b^2) = a^3 - a^2b + ab^2 + ba^2 - ab^2 + b^3$.

Теперь приведем подобные слагаемые:

$a^3 - a^2b + a^2b + ab^2 - ab^2 + b^3 = a^3 + b^3$.

Мы получили $a^3 + b^3 = a^3 + b^3$, что и требовалось доказать.

Доказательство формулы разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$

Аналогично, умножим многочлен $(a-b)$ на многочлен $(a^2 + ab + b^2)$:

$(a-b)(a^2 + ab + b^2) = a \cdot (a^2 + ab + b^2) - b \cdot (a^2 + ab + b^2) = a^3 + a^2b + ab^2 - ba^2 - ab^2 - b^3$.

Приведем подобные слагаемые:

$a^3 + a^2b - a^2b + ab^2 - ab^2 - b^3 = a^3 - b^3$.

Мы получили $a^3 - b^3 = a^3 - b^3$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказательство сводится к раскрытию скобок в правых частях формул $(a+b)(a^2 - ab + b^2)$ и $(a-b)(a^2 + ab + b^2)$, что после приведения подобных слагаемых дает левые части $a^3+b^3$ и $a^3-b^3$ соответственно.

6. Что такое неполный квадрат разности (суммы)?

Выражения $a^2 - ab + b^2$ и $a^2 + ab + b^2$ называют соответственно неполным квадратом разности и неполным квадратом суммы выражений $a$ и $b$.

Они отличаются от формул полного квадрата:

Квадрат разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

Квадрат суммы: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

В неполных квадратах коэффициент при произведении $ab$ равен 1 (или -1), а в полных квадратах он равен 2 (или -2).

Ответ: Неполный квадрат разности — это трехчлен вида $a^2 - ab + b^2$. Неполный квадрат суммы — это трехчлен вида $a^2 + ab + b^2$.