Номер 5.76, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.76. Разложите многочлен на множители:

1) $27-8a^3$;

2) $8x^3+y^3$;

3) $27a^3-8b^3$;

4) $1+64y^3$;

5) $125x^3-27y^3$;

6) $1-8b^3$;

7) $8+\frac{1}{8}a^3$;

8) $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$.

1) Для разложения многочлена $27-8a^3$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Представим выражение в виде разности кубов: $27-8a^3 = 3^3 - (2a)^3$. В данном случае $x=3$ и $y=2a$. Подставим эти значения в формулу: $(3 - 2a)(3^2 + 3 \cdot 2a + (2a)^2) = (3 - 2a)(9 + 6a + 4a^2)$.

Ответ: $(3-2a)(9+6a+4a^2)$.

2) Для разложения многочлена $8x^3+y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде суммы кубов: $8x^3+y^3 = (2x)^3 + y^3$. В данном случае $x=2x$ и $y=y$. Подставим эти значения в формулу: $(2x + y)((2x)^2 - 2x \cdot y + y^2) = (2x + y)(4x^2 - 2xy + y^2)$.

Ответ: $(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$.

3) Для разложения многочлена $27a^3-8b^3$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Представим выражение в виде разности кубов: $27a^3-8b^3 = (3a)^3 - (2b)^3$. В данном случае $x=3a$ и $y=2b$. Подставим эти значения в формулу: $(3a - 2b)((3a)^2 + 3a \cdot 2b + (2b)^2) = (3a - 2b)(9a^2 + 6ab + 4b^2)$.

Ответ: $(3a-2b)(9a^2+6ab+4b^2)$.

4) Для разложения многочлена $1+64y^3$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде суммы кубов: $1+64y^3 = 1^3 + (4y)^3$. В данном случае $x=1$ и $y=4y$. Подставим эти значения в формулу: $(1 + 4y)(1^2 - 1 \cdot 4y + (4y)^2) = (1 + 4y)(1 - 4y + 16y^2)$.

Ответ: $(1+4y)(1-4y+16y^2)$.

5) Для разложения многочлена $125x^3-27y^3$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Представим выражение в виде разности кубов: $125x^3-27y^3 = (5x)^3 - (3y)^3$. В данном случае $x=5x$ и $y=3y$. Подставим эти значения в формулу: $(5x - 3y)((5x)^2 + 5x \cdot 3y + (3y)^2) = (5x - 3y)(25x^2 + 15xy + 9y^2)$.

Ответ: $(5x-3y)(25x^2+15xy+9y^2)$.

6) Для разложения многочлена $1-8b^3$ на множители используется формула разности кубов: $x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)$. Представим выражение в виде разности кубов: $1-8b^3 = 1^3 - (2b)^3$. В данном случае $x=1$ и $y=2b$. Подставим эти значения в формулу: $(1 - 2b)(1^2 + 1 \cdot 2b + (2b)^2) = (1 - 2b)(1 + 2b + 4b^2)$.

Ответ: $(1-2b)(1+2b+4b^2)$.

7) Для разложения многочлена $8+\frac{1}{8}a^3$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде суммы кубов: $8+\frac{1}{8}a^3 = 2^3 + (\frac{1}{2}a)^3$. В данном случае $x=2$ и $y=\frac{1}{2}a$. Подставим эти значения в формулу: $(2 + \frac{1}{2}a)(2^2 - 2 \cdot \frac{1}{2}a + (\frac{1}{2}a)^2) = (2 + \frac{1}{2}a)(4 - a + \frac{1}{4}a^2)$.

Ответ: $(2+\frac{1}{2}a)(4-a+\frac{1}{4}a^2)$.

8) Для разложения многочлена $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125}$ на множители используется формула суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$. Представим выражение в виде суммы кубов: $\frac{m^3}{64}+\frac{n^3}{125} = (\frac{m}{4})^3 + (\frac{n}{5})^3$. В данном случае $x=\frac{m}{4}$ и $y=\frac{n}{5}$. Подставим эти значения в формулу: $(\frac{m}{4} + \frac{n}{5})((\frac{m}{4})^2 - \frac{m}{4} \cdot \frac{n}{5} + (\frac{n}{5})^2) = (\frac{m}{4} + \frac{n}{5})(\frac{m^2}{16} - \frac{mn}{20} + \frac{n^2}{25})$.

Ответ: $(\frac{m}{4}+\frac{n}{5})(\frac{m^2}{16}-\frac{mn}{20}+\frac{n^2}{25})$.