Номер 5.83, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.83. Запишите выражение в виде произведения:

1) $a^3+b^6$;

2) $x^9-y^3$;

3) $x^6+y^6$;

4) $x^6+y^3$;

5) $p^3-q^9$;

6) $m^9-n^9$.

1) Чтобы разложить на множители выражение $a^3+b^6$, представим его в виде суммы кубов. Заметим, что $b^6 = (b^2)^3$. Тогда выражение принимает вид $a^3+(b^2)^3$.

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В нашем случае $x=a$ и $y=b^2$.

Подставляя в формулу, получаем:

$a^3+(b^2)^3 = (a+b^2)(a^2-a \cdot b^2+(b^2)^2) = (a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.

Ответ: $(a+b^2)(a^2-ab^2+b^4)$.

2) Выражение $x^9-y^3$ можно представить в виде разности кубов. Заметим, что $x^9 = (x^3)^3$. Таким образом, выражение принимает вид $(x^3)^3 - y^3$.

Воспользуемся формулой разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=x^3$ и $b=y$.

$(x^3)^3 - y^3 = (x^3-y)((x^3)^2 + x^3 \cdot y + y^2) = (x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.

Ответ: $(x^3-y)(x^6+x^3y+y^2)$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $x^6+y^6$, представим его как сумму кубов. Заметим, что $x^6=(x^2)^3$ и $y^6=(y^2)^3$. Таким образом, выражение можно записать как $(x^2)^3+(y^2)^3$.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x^2$ и $b=y^2$.

$(x^2)^3+(y^2)^3 = (x^2+y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) = (x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.

Ответ: $(x^2+y^2)(x^4-x^2y^2+y^4)$.

4) В выражении $x^6+y^3$ представим первый член как куб. Поскольку $x^6=(x^2)^3$, выражение можно переписать в виде суммы кубов: $(x^2)^3+y^3$.

Используем формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$, где $a=x^2$ и $b=y$.

$(x^2)^3+y^3 = (x^2+y)((x^2)^2 - x^2 \cdot y + y^2) = (x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.

Ответ: $(x^2+y)(x^4-x^2y+y^2)$.

5) Выражение $p^3-q^9$ можно представить как разность кубов. Заметим, что $q^9=(q^3)^3$. Тогда выражение примет вид $p^3-(q^3)^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=p$ и $b=q^3$.

$p^3-(q^3)^3 = (p-q^3)(p^2 + p \cdot q^3 + (q^3)^2) = (p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.

Ответ: $(p-q^3)(p^2+pq^3+q^6)$.

6) Выражение $m^9-n^9$ можно разложить на множители, представив его как разность кубов. Заметим, что $m^9=(m^3)^3$ и $n^9=(n^3)^3$.

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$, где $a=m^3$ и $b=n^3$.

$m^9-n^9 = (m^3)^3-(n^3)^3 = (m^3-n^3)( (m^3)^2 + m^3n^3 + (n^3)^2 ) = (m^3-n^3)(m^6+m^3n^3+n^6)$.

Обратим внимание, что первый множитель $(m^3-n^3)$ также является разностью кубов и может быть разложен дальше по той же формуле:

$m^3-n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.

Подставив это разложение в предыдущий результат, получим окончательное выражение в виде произведения:

$(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.

Ответ: $(m-n)(m^2+mn+n^2)(m^6+m^3n^3+n^6)$.