Номер 5.88, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.88. Запишите выражение в виде суммы или разности кубов:

1) $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16);$

2) $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2);$

3) $(2a-\frac{b}{2})(4a^2+ab+\frac{b^2}{4});$

4) $(\frac{x}{4}+\frac{y}{5})(\frac{x^2}{16}-\frac{xy}{20}+\frac{y^2}{25}).$

1) Данное выражение $(ab-4)(a^2b^2+4ab+16)$ является разложением формулы разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.

В данном случае, пусть $x=ab$ и $y=4$.

Тогда вторая скобка должна иметь вид неполного квадрата суммы: $x^2+xy+y^2$.

Проверим: $x^2 = (ab)^2 = a^2b^2$, $xy = (ab) \cdot 4 = 4ab$, $y^2 = 4^2 = 16$.

Выражение во второй скобке $a^2b^2+4ab+16$ полностью соответствует $x^2+xy+y^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как разность кубов $x^3 - y^3$.

$(ab-4)(a^2b^2+4ab+16) = (ab)^3 - 4^3 = a^3b^3 - 64$.

Ответ: $a^3b^3 - 64$

2) Данное выражение $(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2)$ является разложением формулы суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.

В данном случае, пусть $a=3x$ и $b=yz$.

Тогда вторая скобка должна иметь вид неполного квадрата разности: $a^2-ab+b^2$.

Проверим: $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, $ab = (3x)(yz) = 3xyz$, $b^2 = (yz)^2 = y^2z^2$.

Выражение во второй скобке $9x^2-3xyz+y^2z^2$ полностью соответствует $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как сумму кубов $a^3 + b^3$.

$(3x+yz)(9x^2-3xyz+y^2z^2) = (3x)^3 + (yz)^3 = 27x^3 + y^3z^3$.

Ответ: $27x^3 + y^3z^3$

3) Данное выражение $\left(2a-\frac{b}{2}\right)\left(4a^2+ab+\frac{b^2}{4}\right)$ является разложением формулы разности кубов $(x-y)(x^2+xy+y^2)=x^3-y^3$.

В данном случае, пусть $x=2a$ и $y=\frac{b}{2}$.

Тогда вторая скобка должна иметь вид неполного квадрата суммы: $x^2+xy+y^2$.

Проверим: $x^2 = (2a)^2 = 4a^2$, $xy = 2a \cdot \frac{b}{2} = ab$, $y^2 = \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{b^2}{4}$.

Выражение во второй скобке $4a^2+ab+\frac{b^2}{4}$ полностью соответствует $x^2+xy+y^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как разность кубов $x^3 - y^3$.

$\left(2a-\frac{b}{2}\right)\left(4a^2+ab+\frac{b^2}{4}\right) = (2a)^3 - \left(\frac{b}{2}\right)^3 = 8a^3 - \frac{b^3}{8}$.

Ответ: $8a^3 - \frac{b^3}{8}$

4) Данное выражение $\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{16}-\frac{xy}{20}+\frac{y^2}{25}\right)$ является разложением формулы суммы кубов $(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$.

В данном случае, пусть $a=\frac{x}{4}$ и $b=\frac{y}{5}$.

Тогда вторая скобка должна иметь вид неполного квадрата разности: $a^2-ab+b^2$.

Проверим: $a^2 = \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{x^2}{16}$, $ab = \frac{x}{4} \cdot \frac{y}{5} = \frac{xy}{20}$, $b^2 = \left(\frac{y}{5}\right)^2 = \frac{y^2}{25}$.

Выражение во второй скобке $\frac{x^2}{16}-\frac{xy}{20}+\frac{y^2}{25}$ полностью соответствует $a^2-ab+b^2$.

Следовательно, исходное выражение можно представить как сумму кубов $a^3 + b^3$.

$\left(\frac{x}{4}+\frac{y}{5}\right)\left(\frac{x^2}{16}-\frac{xy}{20}+\frac{y^2}{25}\right) = \left(\frac{x}{4}\right)^3 + \left(\frac{y}{5}\right)^3 = \frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$.

Ответ: $\frac{x^3}{64} + \frac{y^3}{125}$