Номер 5.95, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.95. Докажите, что при каждом натуральном значении n выражение:

1) $(2n+3)^3 - (2n-1)^3 + 4$ делится на 16;

2) $(5n+1)^3 + (2n-1)^3 - 7n^3$ делится на 21.

1) Докажем, что при каждом натуральном значении $n$ выражение $(2n+3)^3 - (2n-1)^3 + 4$ делится на 16. Для этого упростим выражение, раскрыв кубы по формуле $(a \pm b)^3 = a^3 \pm 3a^2b + 3ab^2 \pm b^3$.

Раскроем первый куб: $(2n+3)^3 = (2n)^3 + 3 \cdot (2n)^2 \cdot 3 + 3 \cdot (2n) \cdot 3^2 + 3^3 = 8n^3 + 36n^2 + 54n + 27$.

Раскроем второй куб: $(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2n) \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение: $(8n^3 + 36n^2 + 54n + 27) - (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) + 4$.

Упростим, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые: $8n^3 + 36n^2 + 54n + 27 - 8n^3 + 12n^2 - 6n + 1 + 4 = (8n^3 - 8n^3) + (36n^2 + 12n^2) + (54n - 6n) + (27 + 1 + 4) = 48n^2 + 48n + 32$.

Вынесем общий множитель 16 за скобки: $48n^2 + 48n + 32 = 16(3n^2 + 3n + 2)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $3n^2 + 3n + 2$ всегда является целым числом. Исходное выражение представлено в виде произведения числа 16 на целое число, следовательно, оно делится на 16 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.

2) Докажем, что при каждом натуральном значении $n$ выражение $(5n+1)^3 + (2n-1)^3 - 7n^3$ делится на 21. Для этого также упростим выражение, раскрыв кубы.

Раскроем первый куб: $(5n+1)^3 = (5n)^3 + 3 \cdot (5n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (5n) \cdot 1^2 + 1^3 = 125n^3 + 75n^2 + 15n + 1$.

Раскроем второй куб: $(2n-1)^3 = (2n)^3 - 3 \cdot (2n)^2 \cdot 1 + 3 \cdot (2n) \cdot 1^2 - 1^3 = 8n^3 - 12n^2 + 6n - 1$.

Подставим полученные разложения в исходное выражение: $(125n^3 + 75n^2 + 15n + 1) + (8n^3 - 12n^2 + 6n - 1) - 7n^3$.

Приведем подобные слагаемые: $(125n^3 + 8n^3 - 7n^3) + (75n^2 - 12n^2) + (15n + 6n) + (1 - 1) = 126n^3 + 63n^2 + 21n$.

Вынесем общий множитель 21 за скобки, учитывая, что $126 = 21 \cdot 6$ и $63 = 21 \cdot 3$: $126n^3 + 63n^2 + 21n = 21(6n^3 + 3n^2 + n)$.

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение $6n^3 + 3n^2 + n$ всегда является целым числом. Исходное выражение представлено в виде произведения числа 21 на целое число, следовательно, оно делится на 21 для любого натурального $n$.

Ответ: Доказано.