Номер 5.89, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.89. Представьте в виде произведения:

1) $a^3b^6-c^3$;

2) $3ax^3-3ay^3$;

3) $12am^3-12an^3$;

4) $a^6b^3+27$;

5) $1-p^9$;

6) $64x^3y^6+343a^3$.

1) Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$.

Сначала представим каждый член выражения в виде куба:

• $a^3b^6 = a^3(b^2)^3 = (ab^2)^3$. Таким образом, $A = ab^2$.
• $c^3$. Таким образом, $B = c$.

$a^3b^6 - c^3 = (ab^2)^3 - c^3 = (ab^2 - c)((ab^2)^2 + (ab^2)(c) + c^2) = (ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.

Ответ: $(ab^2 - c)(a^2b^4 + ab^2c + c^2)$.

2) В выражении $3ax^3 - 3ay^3$ есть общий множитель $3a$. Вынесем его за скобки:

$3ax^3 - 3ay^3 = 3a(x^3 - y^3)$.

Выражение в скобках $x^3 - y^3$ является разностью кубов. Применим формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=x$ и $B=y$.

$x^3 - y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Подставив это разложение обратно, получим окончательный вид произведения:

$3a(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Ответ: $3a(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

3) Аналогично предыдущему примеру, сначала вынесем общий множитель $12a$ за скобки:

$12am^3 - 12an^3 = 12a(m^3 - n^3)$.

Выражение в скобках $m^3 - n^3$ представляет собой разность кубов. Используем формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=m$ и $B=n$.

$m^3 - n^3 = (m-n)(m^2+mn+n^2)$.

Следовательно, итоговое произведение имеет вид:

$12a(m-n)(m^2+mn+n^2)$.

Ответ: $12a(m-n)(m^2+mn+n^2)$.

4) Данное выражение является суммой кубов. Воспользуемся формулой суммы кубов $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба:

• $a^6b^3 = (a^2)^3b^3 = (a^2b)^3$. Таким образом, $A = a^2b$.
• $27 = 3^3$. Таким образом, $B = 3$.

$a^6b^3 + 27 = (a^2b)^3 + 3^3 = (a^2b + 3)((a^2b)^2 - (a^2b)(3) + 3^2) = (a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.

Ответ: $(a^2b + 3)(a^4b^2 - 3a^2b + 9)$.

5) Выражение $1-p^9$ можно представить как разность кубов: $1^3 - (p^3)^3$. Применим формулу $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$, где $A=1$ и $B=p^3$.

$1^3 - (p^3)^3 = (1-p^3)(1^2 + 1 \cdot p^3 + (p^3)^2) = (1-p^3)(1+p^3+p^6)$.

Первый множитель $1-p^3$ также является разностью кубов, которую можно разложить дальше: $1-p^3 = (1-p)(1+p+p^2)$.

Таким образом, получаем более полное разложение:

$(1-p)(1+p+p^2)(1+p^3+p^6)$.

Многочлен $1+p^3+p^6$ не раскладывается на множители с целыми коэффициентами.

Ответ: $(1-p)(1+p+p^2)(1+p^3+p^6)$.

6) Выражение $64x^3y^6+343a^3$ является суммой кубов. Применим формулу $A^3 + B^3 = (A+B)(A^2 - AB + B^2)$.

Представим каждый член в виде куба:

• $64x^3y^6 = 4^3x^3(y^2)^3 = (4xy^2)^3$. Значит, $A=4xy^2$.
• $343a^3 = 7^3a^3 = (7a)^3$. Значит, $B=7a$.

$(4xy^2)^3 + (7a)^3 = (4xy^2 + 7a)((4xy^2)^2 - (4xy^2)(7a) + (7a)^2) = (4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.

Ответ: $(4xy^2 + 7a)(16x^2y^4 - 28axy^2 + 49a^2)$.