Номер 5.91, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.91. Разложите на множители:

1) $a^3+b^3-2ab(a+b);$

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2);$

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2;$

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2).$

1) $a^3+b^3-2ab(a+b)$

Для разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(a+b)(a^2-ab+b^2) - 2ab(a+b)$

Теперь вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки:

$(a+b)((a^2-ab+b^2) - 2ab)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(a+b)(a^2-ab+b^2 - 2ab) = (a+b)(a^2-3ab+b^2)$

Ответ: $(a+b)(a^2-3ab+b^2)$

2) $m^3-n^3-6m(m^2+mn+n^2)$

Применим формулу разности кубов: $m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)$.

Подставим разложение в исходное выражение:

$(m-n)(m^2+mn+n^2) - 6m(m^2+mn+n^2)$

Вынесем общий множитель $(m^2+mn+n^2)$ за скобки:

$(m^2+mn+n^2)((m-n) - 6m)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(m^2+mn+n^2)(m-n-6m) = (m^2+mn+n^2)(-5m-n)$

Вынесем знак минус из второй скобки:

$-(m^2+mn+n^2)(5m+n)$

Ответ: $-(5m+n)(m^2+mn+n^2)$

3) $x^3-y^3+8x^2y-8xy^2$

Сгруппируем слагаемые: $(x^3-y^3) + (8x^2y-8xy^2)$.

Разложим первую группу по формуле разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $8xy$ за скобки: $8x^2y-8xy^2 = 8xy(x-y)$.

Теперь выражение выглядит так:

$(x-y)(x^2+xy+y^2) + 8xy(x-y)$

Вынесем общий множитель $(x-y)$ за скобки:

$(x-y)((x^2+xy+y^2) + 8xy)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x-y)(x^2+xy+y^2+8xy) = (x-y)(x^2+9xy+y^2)$

Ответ: $(x-y)(x^2+9xy+y^2)$

4) $p^3+q^3-2pq(p^2-pq+q^2)$

Применим формулу суммы кубов: $p^3+q^3=(p+q)(p^2-pq+q^2)$.

Подставим это разложение в исходное выражение:

$(p+q)(p^2-pq+q^2) - 2pq(p^2-pq+q^2)$

Видим общий множитель $(p^2-pq+q^2)$, который можно вынести за скобки:

$(p^2-pq+q^2)((p+q) - 2pq)$

Упростим выражение во второй скобке:

$(p^2-pq+q^2)(p+q-2pq)$

Ответ: $(p+q-2pq)(p^2-pq+q^2)$