Номер 5.94, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.94. Разложите на множители:

1) $(a-2b)^3+8b^3;$

2) $27-(x-2)^3;$

3) $(m+1)^3+64.$

1) Чтобы разложить на множители выражение $(a-2b)^3+8b^3$, необходимо применить формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В данном выражении $x = a-2b$, а $y = 2b$, поскольку $8b^3 = (2b)^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$((a-2b)+2b)((a-2b)^2 - (a-2b)(2b) + (2b)^2)$.

Упростим первую скобку (сумму оснований):

$(a-2b)+2b = a$.

Теперь упростим вторую скобку (неполный квадрат разности):

$(a-2b)^2 - (a-2b)(2b) + (2b)^2 = (a^2-4ab+4b^2) - (2ab-4b^2) + 4b^2 = a^2-4ab+4b^2 - 2ab+4b^2 + 4b^2 = a^2 - 6ab + 12b^2$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:

$a(a^2 - 6ab + 12b^2)$.

Ответ: $a(a^2 - 6ab + 12b^2)$.

2) Чтобы разложить на множители выражение $27-(x-2)^3$, необходимо применить формулу разности кубов: $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$.

В данном выражении $x = 3$, поскольку $27 = 3^3$, и $y = x-2$.

Подставим эти значения в формулу:

$(3-(x-2))(3^2 + 3(x-2) + (x-2)^2)$.

Упростим первую скобку (разность оснований):

$3-(x-2) = 3-x+2 = 5-x$.

Теперь упростим вторую скобку (неполный квадрат суммы):

$3^2 + 3(x-2) + (x-2)^2 = 9 + 3x-6 + x^2-4x+4 = x^2 + (3x-4x) + (9-6+4) = x^2 - x + 7$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:

$(5-x)(x^2 - x + 7)$.

Ответ: $(5-x)(x^2 - x + 7)$.

3) Чтобы разложить на множители выражение $(m+1)^3+64$, необходимо применить формулу суммы кубов: $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$.

В данном выражении $x = m+1$, а $y = 4$, поскольку $64 = 4^3$.

Подставим эти значения в формулу:

$((m+1)+4)((m+1)^2 - (m+1) \cdot 4 + 4^2)$.

Упростим первую скобку (сумму оснований):

$(m+1)+4 = m+5$.

Теперь упростим вторую скобку (неполный квадрат разности):

$(m+1)^2 - 4(m+1) + 16 = (m^2+2m+1) - (4m+4) + 16 = m^2+2m+1-4m-4+16 = m^2 - 2m + 13$.

Таким образом, исходное выражение раскладывается на множители:

$(m+5)(m^2 - 2m + 13)$.

Ответ: $(m+5)(m^2 - 2m + 13)$.