Номер 5.90, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.90. Разложите на множители:

1) $(a+b)^3-(a-b)^3;$

2) $(2x+y)^3+(x-2y)^3;$

3) $(2mn-1)^3+1;$

4) $(3a-2b)^3+8b^3.$

1) Для разложения на множители выражения $(a+b)^3-(a-b)^3$ применим формулу разности кубов $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$. В данном случае $x = a+b$ и $y = a-b$.

$(a+b)^3-(a-b)^3 = ((a+b)-(a-b))((a+b)^2+(a+b)(a-b)+(a-b)^2)$.

Упростим первый множитель:

$a+b-a+b = 2b$.

Упростим второй множитель, используя формулы квадрата суммы, квадрата разности и разности квадратов:

$(a^2+2ab+b^2) + (a^2-b^2) + (a^2-2ab+b^2) = a^2+a^2+a^2+2ab-2ab+b^2-b^2+b^2 = 3a^2+b^2$.

Перемножим полученные выражения:

$2b(3a^2+b^2)$.

Ответ: $2b(3a^2+b^2)$.

2) Для разложения на множители выражения $(2x+y)^3+(x-2y)^3$ применим формулу суммы кубов $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$. В данном случае $x=2x+y$ и $y=x-2y$.

$((2x+y)+(x-2y))((2x+y)^2-(2x+y)(x-2y)+(x-2y)^2)$.

Упростим первый множитель:

$2x+y+x-2y = 3x-y$.

Упростим второй множитель:

$(4x^2+4xy+y^2) - (2x^2-4xy+xy-2y^2) + (x^2-4xy+4y^2) = (4x^2+4xy+y^2) - (2x^2-3xy-2y^2) + (x^2-4xy+4y^2)$.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$4x^2+4xy+y^2 - 2x^2+3xy+2y^2 + x^2-4xy+4y^2 = (4x^2-2x^2+x^2) + (4xy+3xy-4xy) + (y^2+2y^2+4y^2) = 3x^2+3xy+7y^2$.

Перемножим полученные выражения:

$(3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.

Ответ: $(3x-y)(3x^2+3xy+7y^2)$.

3) Для разложения на множители выражения $(2mn-1)^3+1$ представим его в виде суммы кубов $(2mn-1)^3+1^3$ и применим формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=2mn-1$ и $y=1$.

$((2mn-1)+1)((2mn-1)^2-(2mn-1)\cdot1+1^2)$.

Упростим первый множитель:

$2mn-1+1 = 2mn$.

Упростим второй множитель:

$(4m^2n^2-4mn+1) - (2mn-1) + 1 = 4m^2n^2-4mn+1-2mn+1+1 = 4m^2n^2-6mn+3$.

Перемножим полученные выражения:

$2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.

Ответ: $2mn(4m^2n^2-6mn+3)$.

4) Для разложения на множители выражения $(3a-2b)^3+8b^3$ представим его в виде суммы кубов $(3a-2b)^3+(2b)^3$ и применим формулу $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$, где $x=3a-2b$ и $y=2b$.

$((3a-2b)+2b)((3a-2b)^2-(3a-2b)(2b)+(2b)^2)$.

Упростим первый множитель:

$3a-2b+2b = 3a$.

Упростим второй множитель:

$(9a^2-12ab+4b^2) - (6ab-4b^2) + 4b^2 = 9a^2-12ab+4b^2-6ab+4b^2+4b^2 = 9a^2-18ab+12b^2$.

Перемножим полученные выражения:

$3a(9a^2-18ab+12b^2)$.

Вынесем общий множитель 3 из второй скобки:

$3a \cdot 3(3a^2-6ab+4b^2) = 9a(3a^2-6ab+4b^2)$.

Ответ: $9a(3a^2-6ab+4b^2)$.