Номер 5.93, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.93. Представьте произведение в виде многочлена:

1) $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1);$

2) $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12});$

3) $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20});$

4) $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4).$

1) Данное произведение представляет собой формулу сокращенного умножения "разность кубов": $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В выражении $(3x^3-1)(9x^6+3x^3+1)$ в качестве $a$ выступает $3x^3$, а в качестве $b$ выступает $1$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(9x^6+3x^3+1)$ части формулы $(a^2+ab+b^2)$.

$a^2 = (3x^3)^2 = 9x^6$

$ab = (3x^3) \cdot 1 = 3x^3$

$b^2 = 1^2 = 1$

Второй множитель полностью соответствует $(a^2+ab+b^2)$.

Следовательно, произведение можно представить в виде $a^3-b^3$:

$(3x^3)^3 - 1^3 = 27x^9 - 1$.

Ответ: $27x^9 - 1$.

2) Это произведение также можно упростить с помощью формулы разности кубов: $(a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3$. В выражении $(a^5-3b^6)(a^{10}+3a^5b^6+9b^{12})$ примем $a=a^5$ и $b=3b^6$. Проверим второй множитель на соответствие $(a^2+ab+b^2)$.

$a^2 = (a^5)^2 = a^{10}$

$ab = a^5 \cdot 3b^6 = 3a^5b^6$

$b^2 = (3b^6)^2 = 9b^{12}$

Второй множитель является неполным квадратом суммы, поэтому формула применима.

Применим формулу разности кубов $a^3-b^3$:

$(a^5)^3 - (3b^6)^3 = a^{15} - 27b^{18}$.

Ответ: $a^{15} - 27b^{18}$.

3) Здесь используется формула сокращенного умножения "сумма кубов": $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. Для выражения $(m^3+n^{10})(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ пусть $a=m^3$ и $b=n^{10}$. Проверим, соответствует ли второй множитель $(m^6-m^3n^{10}+n^{20})$ части формулы $(a^2-ab+b^2)$.

$a^2 = (m^3)^2 = m^6$

$ab = m^3 \cdot n^{10} = m^3n^{10}$

$b^2 = (n^{10})^2 = n^{20}$

Второй множитель является неполным квадратом разности, что соответствует формуле.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3$:

$(m^3)^3 + (n^{10})^3 = m^9 + n^{30}$.

Ответ: $m^9 + n^{30}$.

4) В этом примере также применяется формула суммы кубов: $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$. В выражении $(7b^2+2)(49b^4-14b^2+4)$ примем $a=7b^2$ и $b=2$. Проверим второй множитель на соответствие $(a^2-ab+b^2)$.

$a^2 = (7b^2)^2 = 49b^4$

$ab = 7b^2 \cdot 2 = 14b^2$

$b^2 = 2^2 = 4$

Второй множитель $(49b^4-14b^2+4)$ является неполным квадратом разности, значит, формула применима.

Применим формулу суммы кубов $a^3+b^3$:

$(7b^2)^3 + 2^3 = 343b^6 + 8$.

Ответ: $343b^6 + 8$.