Номер 5.87, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.87. Докажите, что значение выражения:

1) $43^3+37^3$ делится на 80;

2) $79^3-35^3$ делится на 44.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $43^3 + 37^3$ делится на 80, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим в формулу $a = 43$ и $b = 37$:

$43^3 + 37^3 = (43 + 37)(43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Найдем значение первого множителя в скобках:

$43 + 37 = 80$

Таким образом, исходное выражение равно:

$80 \cdot (43^2 - 43 \cdot 37 + 37^2)$

Так как один из множителей равен 80, а второй множитель является целым числом (поскольку представляет собой сумму, разность и произведение целых чисел), то всё произведение делится на 80 без остатка.

Ответ: Доказано.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $79^3 - 35^3$ делится на 44, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$.

Подставим в формулу $a = 79$ и $b = 35$:

$79^3 - 35^3 = (79 - 35)(79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Найдем значение первого множителя в скобках:

$79 - 35 = 44$

Таким образом, исходное выражение равно:

$44 \cdot (79^2 + 79 \cdot 35 + 35^2)$

Так как один из множителей равен 44, а второй множитель является целым числом, то всё произведение делится на 44 без остатка.

Ответ: Доказано.