Номер 5.80, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.80. Разложите на множители:

1) $x^3+64;$

2) $125-x^3;$

3) $27a^3-64b^3;$

4) $1+27m^3;$

5) $\frac{n^3}{64}+8;$

6) $\frac{p^3}{64} - \frac{q^3}{27}.$

1) $x^3+64;$

Данное выражение является суммой кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

В нашем выражении $a^3 = x^3$, значит $a=x$. Второе слагаемое $64$ можно представить как $4^3$, значит $b=4$.

Подставим эти значения в формулу:

$x^3+64 = x^3+4^3 = (x+4)(x^2 - x \cdot 4 + 4^2) = (x+4)(x^2-4x+16)$.

Ответ: $(x+4)(x^2-4x+16)$.

2) $125-x^3;$

Данное выражение является разностью кубов. Для его разложения на множители воспользуемся формулой разности кубов: $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

В нашем выражении $a^3 = 125$, значит $a=5$. Второе слагаемое $x^3$, значит $b=x$.

Подставим эти значения в формулу:

$125-x^3 = 5^3-x^3 = (5-x)(5^2 + 5 \cdot x + x^2) = (5-x)(25+5x+x^2)$.

Ответ: $(5-x)(25+5x+x^2)$.

3) $27a^3-64b^3;$

Это разность кубов, и для разложения мы применим формулу $x^3-y^3 = (x-y)(x^2+xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба: $27a^3 = (3a)^3$ и $64b^3 = (4b)^3$.

Следовательно, в формуле $x=3a$ и $y=4b$.

Подставим в формулу:

$27a^3-64b^3 = (3a)^3-(4b)^3 = (3a-4b)((3a)^2 + (3a)(4b) + (4b)^2) = (3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.

Ответ: $(3a-4b)(9a^2+12ab+16b^2)$.

4) $1+27m^3;$

Это сумма кубов, и для разложения мы применим формулу $x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$.

Представим каждый член выражения в виде куба: $1 = 1^3$ и $27m^3 = (3m)^3$.

Следовательно, в формуле $x=1$ и $y=3m$.

Подставим в формулу:

$1+27m^3 = 1^3+(3m)^3 = (1+3m)(1^2 - 1 \cdot 3m + (3m)^2) = (1+3m)(1-3m+9m^2)$.

Ответ: $(1+3m)(1-3m+9m^2)$.

5) $\frac{n^3}{64}+8;$

Данное выражение является суммой кубов. Используем формулу $a^3+b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба: $\frac{n^3}{64} = (\frac{n}{4})^3$ и $8 = 2^3$.

В данном случае $a = \frac{n}{4}$ и $b=2$.

Подставляем в формулу:

$\frac{n^3}{64}+8 = (\frac{n}{4})^3+2^3 = (\frac{n}{4}+2)((\frac{n}{4})^2 - \frac{n}{4} \cdot 2 + 2^2) = (\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16}-\frac{n}{2}+4)$.

Ответ: $(\frac{n}{4}+2)(\frac{n^2}{16}-\frac{n}{2}+4)$.

6) $\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27};$

Данное выражение является разностью кубов. Используем формулу $a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$.

Представим каждое слагаемое в виде куба: $\frac{p^3}{64} = (\frac{p}{4})^3$ и $\frac{q^3}{27} = (\frac{q}{3})^3$.

В данном случае $a = \frac{p}{4}$ и $b=\frac{q}{3}$.

Подставляем в формулу:

$\frac{p^3}{64}-\frac{q^3}{27} = (\frac{p}{4})^3-(\frac{q}{3})^3 = (\frac{p}{4}-\frac{q}{3})((\frac{p}{4})^2 + \frac{p}{4} \cdot \frac{q}{3} + (\frac{q}{3})^2) = (\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16}+\frac{pq}{12}+\frac{q^2}{9})$.

Ответ: $(\frac{p}{4}-\frac{q}{3})(\frac{p^2}{16}+\frac{pq}{12}+\frac{q^2}{9})$.