Номер 5.86, страница 151 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.86. Докажите, что значение выражения:

1) $326^3+74^3$ кратно 400;

2) $425^3-125^3$ кратно 300.

1) Чтобы доказать, что значение выражения $326^3+74^3$ кратно 400, воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$.

В данном случае $a = 326$ и $b = 74$. Подставим эти значения в формулу:

$326^3 + 74^3 = (326 + 74)(326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$

Вычислим сумму в первых скобках:

$326 + 74 = 400$

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

$326^3 + 74^3 = 400 \cdot (326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$

Полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 400. Второй множитель, $(326^2 - 326 \cdot 74 + 74^2)$, является целым числом, так как это результат операций над целыми числами. Произведение целого числа на 400 всегда кратно 400. Следовательно, значение выражения $326^3+74^3$ кратно 400.

Ответ: что и требовалось доказать.

2) Чтобы доказать, что значение выражения $425^3-125^3$ кратно 300, воспользуемся формулой разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

В данном случае $a = 425$ и $b = 125$. Подставим эти значения в формулу:

$425^3 - 125^3 = (425 - 125)(425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$

Вычислим разность в первых скобках:

$425 - 125 = 300$

Теперь мы можем переписать исходное выражение следующим образом:

$425^3 - 125^3 = 300 \cdot (425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$

Полученное выражение представляет собой произведение, где один из множителей равен 300. Второй множитель, $(425^2 + 425 \cdot 125 + 125^2)$, является целым числом. Произведение целого числа на 300 всегда кратно 300. Следовательно, значение выражения $425^3-125^3$ кратно 300.

Ответ: что и требовалось доказать.