Номер 5.92, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.92. Представьте в виде произведения:

1) $8a^3+6a^2+3a+1$;

2) $x^3-4x^2+20x-125$;

3) $m^4+mn^3-m^3n-n^4$;

4) $c^4+c^3y-cy^3-y^4$.

1)Исходное выражение: $8a^3+6a^2+3a+1$. Для разложения на множители воспользуемся методом группировки. Сгруппируем первое и последнее слагаемые, а также второе и третье.

$(8a^3+1)+(6a^2+3a)$

Первая группа является суммой кубов. Разложим ее по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$8a^3+1 = (2a)^3+1^3=(2a+1)((2a)^2-2a \cdot 1+1^2)=(2a+1)(4a^2-2a+1)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $3a$ за скобки:

$6a^2+3a = 3a(2a+1)$.

Подставим полученные выражения обратно в исходное:

$(2a+1)(4a^2-2a+1) + 3a(2a+1)$.

Теперь мы видим общий множитель $(2a+1)$, который можно вынести за скобки:

$(2a+1)((4a^2-2a+1)+3a)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(2a+1)(4a^2-2a+1+3a) = (2a+1)(4a^2+a+1)$.

Ответ: $(2a+1)(4a^2+a+1)$.

2)Исходное выражение: $x^3-4x^2+20x-125$. Сгруппируем слагаемые: первое с четвертым и второе с третьим.

$(x^3-125)+(-4x^2+20x)$.

Первая группа является разностью кубов. Разложим ее по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$x^3-125 = x^3-5^3=(x-5)(x^2+5x+25)$.

Во второй группе вынесем общий множитель $-4x$ за скобки:

$-4x^2+20x = -4x(x-5)$.

Подставим полученные выражения обратно:

$(x-5)(x^2+5x+25) - 4x(x-5)$.

Вынесем общий множитель $(x-5)$ за скобки:

$(x-5)((x^2+5x+25)-4x)$.

Упростим выражение во второй скобке:

$(x-5)(x^2+5x+25-4x) = (x-5)(x^2+x+25)$.

Ответ: $(x-5)(x^2+x+25)$.

3)Исходное выражение: $m^4+mn^3-m^3n-n^4$. Сгруппируем слагаемые: первое с третьим и второе с четвертым.

$(m^4-m^3n)+(mn^3-n^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$m^3(m-n)+n^3(m-n)$.

Теперь вынесем общий множитель $(m-n)$ за скобки:

$(m-n)(m^3+n^3)$.

Второй множитель является суммой кубов, разложим его по формуле $x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$:

$(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

Ответ: $(m-n)(m+n)(m^2-mn+n^2)$.

4)Исходное выражение: $c^4+c^3y-cy^3-y^4$. Сгруппируем слагаемые: первое со вторым и третье с четвертым.

$(c^4+c^3y)-(cy^3+y^4)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$c^3(c+y)-y^3(c+y)$.

Вынесем общий множитель $(c+y)$ за скобки:

$(c+y)(c^3-y^3)$.

Второй множитель является разностью кубов, разложим его по формуле $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$:

$(c+y)(c-y)(c^2+cy+y^2)$.

Ответ: $(c+y)(c-y)(c^2+cy+y^2)$.