Номер 5.97, страница 152 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.97. Докажите, что сумма:

1) $1^3+2^3+3^3+...+9^3$ делится на 5;

2) $1^3+2^3+3^3+...+49^3$ делится на 25.

1) Для доказательства воспользуемся формулой суммы кубов первых $n$ натуральных чисел:

$S_n = 1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

В данном случае рассматривается сумма $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 9^3$. Здесь $n=9$.

Подставим значение $n=9$ в формулу:

$S_9 = \left(\frac{9(9+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{9 \times 10}{2}\right)^2 = \left(\frac{90}{2}\right)^2 = 45^2$.

Нам необходимо доказать, что полученная сумма, равная $45^2$, делится на 5. Число 45 делится на 5, так как $45 = 5 \times 9$.

Следовательно, квадрат этого числа также будет делиться на 5:

$45^2 = (5 \times 9)^2 = 5^2 \times 9^2 = 25 \times 81$.

Произведение $25 \times 81$ делится на 5, так как один из его множителей (25) делится на 5.

Ответ: Сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+9^3$ равна $45^2=2025$, и это число делится на 5, что и требовалось доказать.

2) Аналогично первому пункту, используем формулу суммы кубов $S_n = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$.

В этом случае мы рассматриваем сумму $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + 49^3$. Здесь $n=49$.

Подставим значение $n=49$ в формулу:

$S_{49} = \left(\frac{49(49+1)}{2}\right)^2 = \left(\frac{49 \times 50}{2}\right)^2$.

Упростим выражение в скобках:

$S_{49} = (49 \times 25)^2$.

Нам необходимо доказать, что это число делится на 25. Выражение для суммы уже содержит множитель 25. Раскроем квадрат:

$S_{49} = 49^2 \times 25^2 = 49^2 \times 625$.

Так как $25^2 = 625 = 25 \times 25$, то сумму можно записать как $S_{49} = 49^2 \times 25 \times 25$. Поскольку один из множителей в этом произведении равен 25, то вся сумма делится на 25 без остатка.

Ответ: Сумма $1^3+2^3+3^3+\dots+49^3$ равна $(49 \times 25)^2$, и это число делится на 25, что и требовалось доказать.