Вопросы, страница 154 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Чему равен куб суммы двух выражений? Напишите формулу.

2. Чему равен куб разности двух выражений? Напишите формулу.

3. Докажите формулы (7) и (8).

1. Чему равен куб суммы двух выражений? Напишите формулу.

Куб суммы двух выражений, например $a$ и $b$, равен сумме куба первого выражения, утроенного произведения квадрата первого выражения на второе, утроенного произведения первого выражения на квадрат второго и куба второго выражения.

Соответствующая формула, называемая формулой куба суммы, выглядит следующим образом:

$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Ответ: $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

2. Чему равен куб разности двух выражений? Напишите формулу.

Куб разности двух выражений, например $a$ и $b$, равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго, минус куб второго выражения.

Соответствующая формула, называемая формулой куба разности, выглядит следующим образом:

$(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Ответ: $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

3. Докажите формулы (7) и (8).

Предположим, что формула (7) — это формула куба суммы, а формула (8) — формула куба разности, которые были приведены в пунктах 1 и 2.

Доказательство формулы (7): $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Для доказательства преобразуем левую часть равенства. Представим куб суммы как произведение $(a + b)$ на квадрат суммы $(a + b)^2$.

$(a + b)^3 = (a + b)(a + b)^2$

Используем известную формулу квадрата суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$(a + b)^3 = (a + b)(a^2 + 2ab + b^2)$

Теперь выполним умножение многочленов, умножая каждый член первой скобки на многочлен во второй скобке:

$a(a^2 + 2ab + b^2) + b(a^2 + 2ab + b^2) = a \cdot a^2 + a \cdot 2ab + a \cdot b^2 + b \cdot a^2 + b \cdot 2ab + b \cdot b^2$

$= a^3 + 2a^2b + ab^2 + a^2b + 2ab^2 + b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (2a^2b + a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходной формулы. Таким образом, тождество $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ доказано.

Доказательство формулы (8): $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Доказательство этой формулы проводится аналогично. Представим куб разности как произведение $(a - b)$ на квадрат разности $(a - b)^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a - b)^2$

Используем формулу квадрата разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a - b)^3 = (a - b)(a^2 - 2ab + b^2)$

Выполним умножение многочленов:

$a(a^2 - 2ab + b^2) - b(a^2 - 2ab + b^2) = (a^3 - 2a^2b + ab^2) - (a^2b - 2ab^2 + b^3)$

Раскроем скобки, учитывая знак минус перед второй скобкой:

$a^3 - 2a^2b + ab^2 - a^2b + 2ab^2 - b^3$

Сгруппируем и приведем подобные слагаемые:

$a^3 + (-2a^2b - a^2b) + (ab^2 + 2ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$

Мы получили выражение, стоящее в правой части исходной формулы. Таким образом, тождество $(a - b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ доказано.

Ответ: Доказательства верности формул (7) и (8) приведены выше путем тождественных алгебраических преобразований.